Question

實驗與探究：在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對應的邊分別用a、b、c表示．

（1）如圖1，在△ABC中，∠A=2∠B，且∠A=60°．易證：a²=b（b+c）
（2）如果一個三角形的一個內角等于另一個內角的2倍，我們稱這樣的三角形為“倍角三角形”．本題第一問中的三角形是一個特殊的倍角三角形，那么對于任意的倍角△ABC，如圖2，∠A=2∠B，關系式a²=b（b+c）是否仍然成立？并證明你的結論．
歸納與發現
由以上的證明，可以得到關于倍角三角形的一個結論：一個三角形中有一個角等于另一個角的兩倍，2倍角所對邊的平方等于一倍角所對邊乘該邊與第三邊的和．
運用與推廣
（3）（2009年全國初中數學聯賽）在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8．則BC=

C

（A）7

2

   （B）10   （C）

105

    （D）7

3

（4）是否存在一個三邊長恰是三個連續正整數，且其中一個內角等于另一個內角2倍的△ABC？證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由∠A=2∠B，且∠A=60°，可求得∠C=90°，由勾股定理與c=2b，即可證得：a²=b（b+c）；
（2）由圖可知△ACD與△BCD是等腰三角形，AC=AD=b，BC=CD=a，BD=b+c，又由△ACD∽△CBD，利用相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案；
（3）根據（1）、（2）的結論可直接得出答案；
（4）由題意得：若△ABC是倍角三角形，由∠A=2∠B，應有a²=b（b+c），且a＞b；然后分別從a＞c＞b，c＞a＞b，a＞b＞c去分析，即可求得符合要求的值．

解答：（1）證明：∵∠A=2∠B，且∠A=60°，
∴∠B=30°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=90°，
∴a²+b²=c²，c=2b，
∴a²=c²-b²=（2b）²-b²=3b²=b²+2b²=b²+bc=b（b+c）；

（2）關系式a²=b（b+c）仍然成立．
證明：如圖2所示，
∵△ACD為等腰三角形，
∴∠ACD=∠D，
∵∠BAC為△ACD的一個外角，
∴∠BAC=∠D+∠ACD=2∠D，
∵∠BAC=2∠B，
∴∠B=∠D，
∴CD=BC=a，∠B=∠ACD，
∴BD=AB+AD=b+c，
又∵∠D為△ACD與△CBD的一個公共角，
∴△ACD∽△CBD．
∴

CD

BD

=

AC

BC

，即

a

b+c

=

b

a

，
∴a²=b（b+c）；

（3）解：∵在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的2倍，且AB=7，AC=8，
∴BC=

AB•(AB+AC)

=

7×(7+8)

=

105

．
故選C；

（4）存在．
證明：若△ABC是倍角三角形，
∵∠A=2∠B，
∴a²=b（b+c），且a＞b．
當a＞c＞b時，設a=n+1，c=n，b=n-1，（n為大于1的正整數）
代入a²=b（b+c），得（n+1）²=（n-1）•（2n-1），
解得：n=5，
∴a=6，b=4，c=5，可以證明這個三角形中，∠A=2∠B；
當c＞a＞b或a＞b＞c時，
均不存在三條邊長恰為三個連續正整數的倍角三角形．
∴邊長為4，5，6的三角形為所求．

點評：本題考查的是勾股定理，本題涉及到相似三角形的判定與性質、等腰三角形的相關知識，難度適中．