Question

【題目】如圖，在邊長為8的正方形ABCD中，點O為AD上一動點（4＜OA＜8），以O為圓心，OA的長為半徑的圓交邊CD于點E，連接OE、AE，過點E作⊙O的切線交邊BC于F．

（1）求證：△ODE∽△ECF；

（2）在點O的運動過程中，設DE= ：

①求的最大值，并求此時⊙O的半徑長；

②判斷△CEF的周長是否為定值，若是，求出△CEF的周長；否則，請說明理由？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）①5；②16.

【解析】試題分析：（1）根據∠OEF=90°得出∠OED+∠CEF=90°，根據∠CEF+∠CFE=90°得出∠OED=∠EFC，最后根據∠D=∠C即可證出△ODE∽△ECF；

（2）①根據△ODE∽△ECF，得出ODCF=DEEC，設DE=x，得出ODCF=-（x-4）2+16，從而求出最大值，設此時半徑為r，根據OD2+DE2=OE2，得出（8-r）2+42=r2，解方程即可；

②在Rt△ODE中，根據OD2+DE2=OE2，OA=OE，得出（8-OE）2+x2=OE2，求出OE=4+，OD=4-，根據Rt△DOE∽Rt△CEF，得出，代入得出CF=，EF=，最后根據△CEF的周長=CE+CF+EF代入計算即可得出△CEF的周長=16，是定值．

試題解析：（1）證明：∵EF切⊙O于點M，

∴∠OEF=90°，

∴∠OED+∠CEF=90°，

∵∠C=90°，

∴∠CEF+∠CFE=90°，

∴∠OED=∠EFC，

∵∠D=∠C=90°，

∴△ODE∽△ECF；

（2）解：①由（1）知：△ODE∽△ECF，

∴，

∴ODCF=DEEC，

∵DE=x，

∴EC=8-x，

∴ODCF=x（8-x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，

當x=4時，ODCF的值最大，最大值為16，

設此時半徑為r，則OA=OE=r，OD=8-r，

在Rt△ODE中，

∵OD2+DE2=OE2，

∴（8-r）2+42=r2，

解得r=5，

即此時半徑長為5；

②△CEF的周長為定值，△CEF的周長=16，

在Rt△ODE中，OD2+DE2=OE2，OA=OE，

即：（8-OE）2+x2=OE2，

∴OE=4+，OD=8-OE=4-，

∵Rt△DOE∽Rt△CEF，

即，

∴，

解得：CF=，EF=，

∴△CEF的周長=CE+CF+EF=8-x++=16．