Question

【題目】如圖已知，于點，于點交于點．，，．

（1）若，點是上一點，當點到點和點的距離相等時，求的長；

（2）若，點是上一點，點是上一點，連接，，，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）如圖1中，連接AB，作線段AB的中垂線MN，交AB于N，交EF于M，連接AM，BM．設DM=x．根據MA=MB構建方程即可解決問題；
（2）如圖2中，如圖，作點A故直線GH 的對稱點A′，點B關于直線EF的對稱點B′，連接A′B′交GH于點P，交EF于點Q，作B′H⊥CA交CA的延長線于H．則此時AP+PQ+QB的值最小．最小值為線段A′B′的長；

解：（1）如圖1中，連接AB，作線段AB的中垂線MN，交AB于N，交EF于M，連接AM，BM．設DM=x．

在Rt△ACM中，AM2=AC2+CM2=32+（6-x）2，
在Rt△BDM中，BM2=DM2+BD2=x2+62，
∵AM=MB，
∴32+（6-x）2=x2+62，
解得x=，
∴CM=CD-MD=6- = ．
（2）如圖2中，如圖，作點A故直線GH 的對稱點A′，點B關于直線EF的對稱點B′，連接A′B′交GH于點P，交EF于點Q，作B′H⊥CA交CA的延長線于H．

則此時AP+PQ+QB的值最小．
根據對稱的性質可知：PA=PA′，QB=QB′，
∴PA+PQ+QB=PA′+PQ+QB′=A′B′，
∴PA+PQ+PB的最小值為線段A′B′的長，
在Rt△A′B′H中，∵HB′=CD= ，

HA′=DB′+CA′=7+6=13，
∴A′B′= ，
∴AP+PQ+QB的最小值為．