Question

【題目】如圖，拋物線與軸交于，兩點，與軸交于點，頂點為，以為直徑作D．下列結論：①拋物線的對稱軸是直線x=3；②⊙D的面積為16π；③拋物線上存在點E，使四邊形ACED為平行四邊形；④直線CM與⊙D相切．其中正確結論的個數是（　　）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Answer 1

【答案】B

【解析】

①根據拋物線的解析式得出拋物線與x軸的交點A、B坐標，由拋物線的對稱性即可判定；②求得⊙D的直徑AB的長，得出其半徑，由圓的面積公式即可判定，③過點C作CE∥AB，交拋物線于E，如果CE=AD，則根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形即可判定；④求得直線CM、直線CD的解析式通過它們的斜率進行判定．

∵在y=（x+2）（x-8）中，當y=0時，x=-2或x=8，

∴點A（-2，0）、B（8，0），

∴拋物線的對稱軸為x==3，故①正確；

∵⊙D的直徑為8-（-2）=10，即半徑為5，

∴⊙D的面積為25π，故②錯誤；

在y=（x+2）（x-8）=x2-x-4中，當x=0時y=-4，

∴點C（0，-4），

當y=-4時，x2-x-4=-4，

解得：x1=0、x2=6，

所以點E（6，-4），

則CE=6，

∵AD=3-（-2）=5，

∴AD≠CE，

∴四邊形ACED不是平行四邊形，故③錯誤；

∵y=x2-x-4=（x-3）2-，

∴點M（3，-），

設直線CM解析式為y=kx+b，

將點C（0，-4）、M（3，-）代入，

得：，

解得：，

所以直線CM解析式為y=-x-4；

設直線CD解析式為y=mx+n，

將點C（0，-4）、D（3，0）代入，得：，

解得：，

所以直線CD解析式為y=x-4，

由-×=-1知CM⊥CD于點C，

∴直線CM與⊙D相切，故④正確；

故選：B．