Question

某校研究性學習小組在研究有關二次函數及其圖象性質的問題時，發現了兩個重要的結論：一是發現拋物線y=ax²+2x+3（a≠0），當實數a變化時，它的頂點都在某條直線上；二是發現當實數a變化時，若把拋物線y=ax²+2x+3的頂點的橫坐標減少

1

a

，縱坐標增加

1

a

，得到A點的坐標；若把頂點的橫坐標增加

1

a

，縱坐標增加

1

a

，得到B點的坐標，則A、B兩點一定仍在拋物線y=ax²+2x+3上．
（1）請你協助探求實數a變化時，拋物線y=ax²+2x+3的頂點所在直線的解析式；
（2）問題（1）中的直線上有一個點不是該拋物線的頂點，你能找出它來嗎？并說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先將拋物線y=ax²+2x+3轉化成頂點式，寫出用a表示的頂點坐標，消去a寫出y關于x的表達式；
（2）觀察（1）中的頂點坐標，-

1

a

≠0，即橫坐標≠0，則縱坐標≠3；

解答：解：（1）y=ax²+2x+3=a(x+

1

a

)2+3-

1

a

，
拋物線y=ax²+2x+3的頂點坐標為 ( -

1

a

，3-

1

a

)，
∴拋物線y=ax²+2x+3的頂點所在直線的解析式為y=x+3；

（2）當a≠0時，頂點的橫坐標-

1

a

≠0，
∴（0，3）點不是拋物線的頂點．

點評：此題主要考查了二次函數的性質以及一次函數的性質，主要考查同學們對頂點式的理解，即靈活運用能力，屬于一道開發性題目．