Question

某校研究性學習小組在研究有關反比例函及其圖象性質的問題，時發(fā)現了三個重要結論．已知：A是反比例函數y=

k

x

（k為非零常數）的圖象上的一動點．
（1）如圖1過動點A作AM⊥x軸，AN⊥y軸，垂足分別為M、N，求證：矩形OMAN的面積是定值；
（2）如圖2，過動點A且與雙曲線有唯一公共點A的直線l與x軸交于點C，y軸交于點D，求證：△OCD的面積是定值；
（3）如圖3，若過動點A的直線與雙曲線交于另一點B，與x軸交于點C，與y軸交于點D．求證：AD=BC．（任選一種證明）

Answer 1

分析：（1）設出點A的坐標，按照矩形的面積公式求解即可；
（2）設直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），根據直線l與雙曲線有唯一公共點，可求出A點是CD的中點，繼而得出答案；
（3）設直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），可利用幾何法和代數法進行求解．

解答：解：（1）圖中點A在第一象限，
設A（x_A，y_A ），OM=x_A，ON=y_A，
S_OMAN=OM•ON=x_A•y_A=k 　　　　　3分

（2）設直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），
則點C(-

b

a

，0)，D（（0，b），

y=ax+b y= k x

，ax2+bx-k=0，
圖象只有唯一公共點，解

x=- b 2a y= b 2

，
∴A(-

b

2a

，

b

2

)，
∴A是CD中點，由（1）中結論得S_△OCD=2k．3分

（3）幾何方法過點A、B分別向坐標軸作垂線段由（1）中的結論得AE•AF=BG•BH，
∴

BG

AE

=

AF

BH

又BG∥AE，得

BG

AE

=

CB

CA

AF∥BH，得

AF

BH

=

DA

DB

得

CB

CA

=

DA

DB

，用比例的性質得DA=BC4分．
代數方法設直線CD的解析式為y=ax+b（a≠0），
則點C(-

b

a

，0)，D((0，b)，
設A(xA，yA)，B(xB，yB)AF=xA，GC=-

b

a

-xB，
又由ax2+bx-k=0，得xA+xB=-

b

a

，
得AF=CG，再可由全等證得DA=BC．
利用圖3（2）時注意點B的坐標符號，其它方法略．

點評：本題考查了反比例函數的知識，難度不大，注意善于總結這類綜合題的解題思路和方法．