Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點D是 上一點，且∠BDE=∠CBE，BD與AE交于點F．
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）若BD平分∠ABE，求證：DE2=DFDB；
（3）在（2）的條件下，延長ED，BA交于點P，若PA=AO，DE=2，求PD的長和⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∴∠EAB+∠EBA=90°，

∵∠EDB=∠EAB，∠BDE=∠CBE，

∴∠EAB=∠CBE，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∴CB⊥AB，

∵AB是⊙O的直徑，

∴BC是⊙O的切線；

（2）證明：∵BD平分∠ABE，

∴∠ABD=∠DBE， = ，

∴∠DEA=∠DBE，

∵∠EDB=∠BDE，

∴△DEF∽△DBE，

∴ = ，

∴DE2=DFDB；

（3）解：連接DA、DO，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD，

∵∠EBD=∠OBD，

∴∠EBD=∠ODB，

∴OD∥BE，

∴ = ，

∵PA=AO，

∴PA=AO=OB，

∴ =

∴ = ，

∴ = ，

∵DE=2，

∴PD=4，

∵∠PDA+∠ADE=180°，∠ABE+∠ADE=180°，

∴∠PDA=∠ABE，

∵OD∥BE，

∴∠AOD=∠ABE，

∴∠PDA=∠AOD，

∵∠P=∠P，

∴△PDA∽△POD，

∴ = ，

設OA=x，

∴PA=x，PO=2x，

∴ = ，

∴2x2=16，x=2 ，

∴OA=2 ．

【解析】（1）根據圓周角定理即可得出∠EAB+∠EBA=90°，再由已知得出∠ABE+∠CBE=90°，則CB⊥AB，從而證得BC是⊙O的切線；（2）通過證得△DEF∽△DBE，得出相似三角形的對應邊成比例即可證得結論．（3）連接DA、DO，先證得OD∥BE，得出 = ，然后根據已知條件得出 = = = ，求得PD=4，通過證得△PDA∽△POD，得出 = ，設OA=x，則PA=x，PO=2x，得出 = ，解得OA=2 ．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用切線的判定定理和相似三角形的判定與性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線；相似三角形的一切對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線、外接圓半徑、內切圓半徑等）的比等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方．