Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)中，拋物線的頂點(diǎn)P到x軸的距離是4，與x軸交于0、M兩點(diǎn)，OM=4，矩形ABCD的邊BC在線段OM上，點(diǎn)A、D在拋物線上．
（1）請寫出P、M兩點(diǎn)坐標(biāo)，并求這條拋物線的解析式；
（2）當(dāng)矩形ABCD的周長為最大值時(shí)，將矩形繞它的中心順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）連接OP，請判斷在拋物線上是否存在點(diǎn)Q（除點(diǎn)M外）使△OPQ是等腰三角形？若存在，寫出點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)P到軸的距離是4，拋物線與x軸相交于O、M兩點(diǎn)，OM=4，知點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是OM的一半，即2；點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是4．點(diǎn)M的坐標(biāo)是（4，0）．根據(jù)點(diǎn)P的坐標(biāo)可以運(yùn)用頂點(diǎn)式求函數(shù)的解析式，再進(jìn)一步把點(diǎn)M的坐標(biāo)代入即可．
（2）設(shè)C（x，0），則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．分別表示出矩形的長和寬，再進(jìn)一步根據(jù)矩形的周長公式進(jìn)行計(jì)算．然后根據(jù)二次函數(shù)的最值方法求出x的值，從而得到點(diǎn)A、B、C、D的坐標(biāo)，再找出矩形ABCD的中心，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可確定點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)等腰三角形的定義，可以考慮OP當(dāng)?shù)祝��?dāng)OP是底時(shí)，則點(diǎn)Q即為OP的垂直平分線和拋物線的交點(diǎn)，先求出OP的中點(diǎn)E的坐標(biāo)，設(shè)OQ與x軸相交于點(diǎn)E，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例求出OE的長度，也就知道了點(diǎn)F的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求出OP的垂直平分線EF的解析式，與二次函數(shù)的解析式聯(lián)立求解即可求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，從而點(diǎn)Q到y(tǒng)的距離可得．

解答：解：（1）根據(jù)題意，得P（2，4），M（4，0），
設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+4，
過點(diǎn)M（4，0），
則4a+4=0，
解得a=-1，
∴y=-（x-2）²+4=4x-x²；

（2）設(shè)C（x，0），
則B（4-x，0），D（x，4x-x²），A（4-x，4x-x²）．
矩形ABCD的周長=2（BC+CD），
=2[（4-2x）+（4x-x²）]=2（-x²+2x+4）=-2（x-1）²+10，
當(dāng)x=1時(shí)，矩形ABCD的周長的最大值=10，
此時(shí)，A（3，3），B（3，0），C（1，0），D（1，3），
∴矩形的中心坐標(biāo)為（2，1.5），
∴2+（3-1.5）=3.5，1.5+（2-1）=2.5，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3.5，2.5）；

（3）存在．
若OP當(dāng)?shù)�，則點(diǎn)Q即為OP的垂直平分線和拋物線的交點(diǎn)，
如圖，設(shè)OP的中點(diǎn)為E，OP的垂直平分線交x軸于點(diǎn)F，過E作EG⊥x軸于點(diǎn)G，
∵P（2，4），
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)是（1，2），G點(diǎn)的坐標(biāo)是G（1，0），
∴OE=

22+12

=

5

，OG=1，
∵∠EOG=∠EOG，∠OGE=∠OEF=90°，
∴△OEG∽△OFE，
∴

OF

OE

=

OE

OG

，
即

OF

5

=

5

1

，
解得OF=5，
∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（5，0），
設(shè)直線EF的解析式為y=kx+b，
則

k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴y=-

1

2

x+

5

2

，
∴

y=-x2+4x y=- 1 2 x+ 5 2

，
解得x=

9± 41

4

，
∴點(diǎn)Q到y(tǒng)軸的距離是

9+ 41

4

或

9- 41

4

．

點(diǎn)評：本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的最值問題，綜合性較強(qiáng)，難度較大，是不可多得的好題．