Question

【題目】定義：每個內角都相等的八邊形叫做等角八邊形．容易知道，等角八邊形的內角都等于135°．下面，我們來研究它的一些性質與判定：

（1）如圖1，等角八邊形ABCDEFGH中，連結BF．

①請直接寫出∠ABF＋∠GFB的度數．

②求證：AB∥EF．

③我們把AB與EF稱為八邊形的一組正對邊．由②同理可得：BC與FG，CD與GH，DE與HA這三組正對邊也分別平行．請模仿平行四邊形性質的學習經驗，用一句話概括等角八邊形的這一性質．

（2）如圖2，等角八邊形ABCDEFGH中，如果有AB＝EF，BC＝FG，則其余兩組正對邊CD與GH，DE與HA分別相等嗎？證明你的結論．

（3）如圖3，八邊形ABCDEFGH中，若四組正對邊分別平行，則顯然有∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．請探究：該八邊形至少需要已知幾個內角為135°，才能保證它一定是等角八邊形？

Answer 1

【答案】（1）①∠ABF＋∠GFB＝135°；②詳見解析；③等角八邊形的每一組正對邊平行；（2）CD＝GH，DE＝HA，詳見解析；（3）結論：至少需要已知5個內角為135°

【解析】

（1）①由等角八邊形的概念可得它的每個內角均為135°，五邊形BAHGF的內角和為540°，減去（∠A+∠H+∠G），即可求得結論；

②根據“內錯角相等，兩直線平行”即可證明；

③根據題目提供的信息，總結出結論即可；

（2）分別證明四邊形ABEF是平行四邊形，△AFG≌△EBC，△AGH≌△ECD即可得到結論；

（3）若4個內角等于135°，則每個內角不一定都為135°，若5個內角等于135°，其余各角的度數也是135°.

（1）①五邊形BAHGF的內角和為（5-2）×180°=540°

∵∠A=∠H=∠G=

∴∠ABF＋∠GFB＝540°-（∠A+∠H+∠G）=135°

即∠ABF＋∠GFB＝135°．

②∵∠1＋∠4＝135°，∠GFE＝∠3＋∠4＝135°，

∴∠1＝∠3，

∴AB∥EF．

③等角八邊形的每一組正對邊平行．

（2）如圖2，連結AF，BE，AG，CE，由①得：AB∥EF，

∵AB＝EF，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∴AF＝BE，AF∥BE，

又∵BC∥FG，

∴∠AFG＝∠EBC，

又∵BC＝FG，

∴△AFG≌△EBC，

∴AG＝EC，∠AGF＝∠ECB，

∵∠HGF＝∠BCD＝135°，

∴∠AGH＝∠ECD，

又∵∠H＝∠D＝135°，

∴△AGH≌△ECD，

∴CD＝GH，DE＝HA．

（3）結論：至少需要已知5個內角為135°．

①若4個內角等于135°，則每個內角不一定都為135°，

如圖4，八邊形ABCMNFPH不是等角八邊形；

②若5個內角等于135°：

∵∠A＝∠E，∠B＝∠F，∠C＝∠G，∠D＝∠H．

∴這八個角中，不論已知哪5個角是135°，都可以推導出其余的內角也是135°．