Question

【題目】如圖，在⊙O中，AB是⊙O的直徑，AB=10， = = ，點E是點D關于AB的對稱點，M是AB上的一動點，下列結論：①∠BOE=60°；②∠CED= ∠DOB；③DM⊥CE；④CM+DM的最小值是10，上述結論中正確的個數是（ ）

A.1
B.2
C.3
D.4

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵ = = ， 點E是點D關于AB的對稱點，
∴ = ，
∴∠DOB=∠BOE=∠COD= =60°，∴①正確；
∠CED= ∠COD= =30°= ，∴②正確；
∵ 的度數是60°，
∴ 的度數是120°，
∴只有當M和A重合時，∠MDE=60°，
∵∠CED=30°，
∴只有M和A重合時，DM⊥CE，∴③錯誤；
做C關于AB的對稱點F，連接CF，交AB于N，連接DF交AB于M，此時CM+DM的值最短，等于DF長，
連接CD，

∵ = = = ，并且弧的度數都是60°，
∴∠D= =60°，∠CFD= =30°，
∴∠FCD=180°﹣60°﹣30°=90°，
∴DF是⊙O的直徑，
即DF=AB=10，
∴CM+DM的最小值是10，∴④正確；
答案為：C．
利用圓心角的性質可得∠BOE∠DOB=∠BOE=∠COD= × 180 =60°;∠CED= ∠COD= ∠ D O B;利用對稱法，可求出CM+DM的最小值是10.