Question

【題目】已知：如圖，中，，于，平分，且于，與相交于點

（1）求證：； （2）求證：；

（3）取邊的中點，連結、、，取的中點G，連結，說明GH與DE的位置關系．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）GH⊥DE，理由見解析.

【解析】

（1）根據等腰直角三角形的性質可得DB＝DC，根據同角的余角相等可得∠DBF＝∠ACD，然后利用ASA證明△ADC≌△FDB即可得到BF＝AC；

（2）根據等角的余角相等可得∠A＝∠BCA，進而得到BA＝BC，根據等腰三角形的性質（三線合一），可得AE＝EC＝AC＝BF；

（3）根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可證明DH=EH，然后根據等腰三角形的性質（三線合一）可得結論．

（1）∵∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，

∴∠DBC＝∠DCB＝45°，

∴DB＝DC，

∵BE⊥AC，

∴∠AEB＝∠ADC＝90°，

∴∠A＋∠ABE＝90°，∠A＋ACD＝90°，

∴∠DBF＝∠ACD，

在△ADC和△FDB中，，

∴△ADC≌△FDB（ASA），

∴BF＝AC；

（2）∵∠ABE＝∠CBE，∠ABE＋∠A＝90°，∠CBE＋∠BCA＝90°，

∴∠A＝∠BCA，

∴BA＝BC，

∵BE⊥AC，

∴AE＝CE，

∵AC＝BF，

∴CE＝BF；

（3）GH⊥DE，

理由：如圖，

∵在Rt△BDC和Rt△BEC中，H為BC中點，

∴DH=BC，EH=BC，

∴DH=EH，

∵G為DE中點，

∴GH⊥DE.