Question

【題目】如圖，在中，，，點為中點，點為邊上一動點，點為射線上一動點，且.

（1）當時，聯結，求的余切值；

（2）當點在線段上時，設，，求關于的函數關系式，并寫出的取值范圍；

（3）聯結，若為等腰三角形，求的長.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）為6或7.

【解析】

（1）先根據勾股定理求出AB的長度，再由三角形的中位線定理求出DF、DE的長，由銳角三角函數的定義即可求出的余切值；

（2）過點E作EH⊥AC于點H，由平行線的性質及等腰三角形的性質可求出HE、HD的表達式，再由相似三角形的判定定理求出，根據相似三角形的性質即可寫出y關于x的函數解析式；

（3）先分析出為等腰三角形時的兩種情況，再根據題意畫出圖形，當DC=DE時，點F在邊BC上，過點作于點可求出AE的長度，由AE的長可判斷出點F的位置，進而求出BF的長；當ED=EC時，先判斷出點F的位置，再根據相似三角形的性質及判定定理即可解答.

解：（1）如圖1所示，

，，

，

，，

，

.

在中，.

（2）過點作于點（圖2），設AE=x，

∵BC⊥AC,

∴EH∥BC,

∴∠AEH=∠B,

∵∠B=∠A,

∴∠AEH=∠A,，

，

又可證，

，

，

;

（3），，

，

若為等腰三角形，只有或兩種可能.

①當時，點在邊上，過點作于點（如圖①），可得：，即點在中點，

此時與重合，；

②當時，點在的延長線上，過點作于點（如圖②），

∴，

，

，

，

，

綜上所述，為6或7.