Question

【題目】如圖，在直角梯形ABCD中，∠B＝90°，AD∥BC，且AD＝4cm，AB＝6cm，DC＝10cm．若動點P從A點出發，以每秒4cm的速度沿線段AD、DC向C點運動；動點Q從C點出發以每秒5cm的速度沿CB向B點運動，當Q點到達B點時，動點P、Q同時停止運動．設點P、Q同時出發，并運動了t秒．

（1）當t為多少秒時，四邊形PQCD是平行四邊形？請說明理由；

（2）當t為多少秒時，AQ＝DC？請說明理由；

（3）當t為多少秒時，PQ⊥DC？請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）t＝時，四邊形PQCD是平行四邊形，理由見解析；（2）當t＝或t＝4時，AQ＝DC，理由見解析；（3）當t＝秒，使得PQ⊥DC，理由見解析

【解析】

（1）若四邊形PQCD是平行四邊形，則PD=CQ，根據題意可列出關于t的一元一次方程，求解即可；

（2）過點D作DE⊥BC于點E，則DE=AB=6，利用勾股定理可求出CE的長，從而得出BC=12，BQ=12-5t，在直角△ABQ中利用勾股定理求解即可

（3）利用△CPQ∽△CED求解即可．

解：（1）t＝時，四邊形PQCD是平行四邊形，理由如下：

由題意知，AP＝4t，CQ＝5t，

∴DP＝AD﹣AP＝4﹣4t，

∵四邊形PQCD成為平行四邊形，

∴DP＝CQ，

∴4﹣4t＝5t，

解得：t＝，

即t＝時，四邊形PQCD是平行四邊形；

（2）過點D作DE⊥BC于E，連接AQ，

∵∠B＝90°，AD∥BC，

∵∠B＝90°，AD∥BC，

∴四邊形ABED是矩形，

∴DE＝AB＝6cm，

BE＝AD＝4cm，

由勾股定理得，CE＝，

∴BC＝BE+CE＝4+8＝12cm，

∵CQ＝5t，BC＝12，

∴BQ＝12﹣5t，

∵AQ＝CD，

∴，

解得：t＝或t＝4（不符合題意，舍去）；

（3）如下圖，由題意知，CP＝14﹣4t，

∵PQ⊥CD，

∴∠CPQ＝90°，

∴∠CPQ＝∠CED，

又∵∠C＝∠C，

∴△CPQ∽△CED，

∴

即，

解得t＝，

此時，CQ＝×5＝＜BC，

∴存在t＝秒，使得PQ⊥DC．