Question

【題目】如圖，已知拋物線的頂點(diǎn)為M(2，-4)，且過點(diǎn)A(-1，5)，連接AM交x軸于點(diǎn)B．

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

(3)設(shè)點(diǎn)P(x，y)是拋物線在x軸下方、頂點(diǎn)左方一段上的動(dòng)點(diǎn)，連接PO，過以P為頂角頂點(diǎn)、PO為腰的等腰三角形的另一頂點(diǎn)C作x軸的垂線交直線AM于點(diǎn)D，連結(jié)PD，設(shè)△PCD的面積為S，求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(4)在上述動(dòng)點(diǎn)P(x，y)中，是否存在使=2的點(diǎn)?若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）;（3） ;（4）存在動(dòng)點(diǎn)P，使，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，－3）．

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)為M（2，﹣4），且過點(diǎn)A（﹣1，5），用待定系數(shù)法即可求出二次函數(shù)的解析式即可；

（2）由于直線AM過A，M兩點(diǎn)，可用待定系數(shù)法求出直線的解析式，從而求出直線與x軸的交點(diǎn)B的坐標(biāo)．

（3）設(shè)點(diǎn)P（x，y），則C的坐標(biāo)是（2x，0），把2x代入直線AM的解析式，就可以求出D的坐標(biāo)．得到CD的長度，CD邊上的高是x，因而△PCD的面積就可以用x表示出來，得到S與x的函數(shù)解析式．

（4）使S△PCD＝2，把s＝2代入函數(shù)的解析式，就可以得到關(guān)于x的方程，解方程求解即可．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a(x﹣h)2+k（a≠0），

∵頂點(diǎn)為M（2，﹣4），

∴y＝a(x﹣2)2﹣4，

∵根據(jù)拋物線過點(diǎn)A（﹣1，5），

∴5＝a(﹣1﹣2)2﹣4，

解得：a＝1，

∴y＝(x﹣2)2﹣4＝x2﹣4x，

∴這條拋物線的解析式為y＝x2﹣4x；

（2）設(shè)直線AM的解析式為y＝kx+b（k≠0），

把M（2，﹣4），A（﹣1，5）兩點(diǎn)代入，

得，

解得，

故直線AM的解析式為y＝﹣3x+2，

令y＝0，解得x＝，

故B點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）；

（3）點(diǎn)P（x，y）是拋物線在x軸下方、對(duì)稱軸左側(cè)部分上的點(diǎn)，

當(dāng)0＜x＜時(shí)，

設(shè)P（x，x2﹣4x），

∵以PO、PC為腰的等腰三角形的另一頂點(diǎn)C在x軸上，

∴C的坐標(biāo)是（2x，0），

∵CD⊥x軸，

∴D（2x，﹣6x+2），

∴CD＝|﹣6x+2|＝﹣6x+2，h＝2x﹣x＝x，

∴S△PCD＝×（﹣6x+2）×x＝﹣3x2+x．

當(dāng)＜x＜2時(shí)，

設(shè)P（x，x2﹣4x），

∵以PO、PC為腰的等腰三角形的另一頂點(diǎn)C在x軸上，

∴C的坐標(biāo)是（2x，0），

∵CD⊥x軸，

∴D（2x，﹣6x+2），

∴CD＝|﹣6x+2|＝6x﹣2，h＝2x﹣x＝x，

∴S△PCD＝×（6x﹣2）×x＝3x2﹣x．

∴S＝；

（4）s＝2代入（3）中函數(shù)的解析式即可得

2＝﹣3x2+x或2＝3x2﹣x，

當(dāng)2＝﹣3x2+x，方程的△＜0，方程無解；

當(dāng)2＝3x2﹣x，解得：x1＝1，x2＝﹣，

當(dāng)x＝1時(shí)y＝x2﹣4x＝﹣3，即拋物線上的P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3）時(shí)，s＝2成立；

當(dāng)x＝﹣＜0（舍去），

∴存在動(dòng)點(diǎn)P，使S＝2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3）．