Question

【題目】如圖，在中，，點、 點分別在線段和線段上， 平分．

如圖1，求證：．

如圖2，若．求證：．

在問的條件下，如圖3， 在線段上取一點，使.過點作交于點，作交于點，連接，交于點，連接，交于點，若,求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）DT=-1

【解析】

（1）先根據∠AED+∠ADB=180°，∠ADB+∠ADC=180°，得出∠AED=∠ADC，進而得到△ADE∽△ACD，即可得出∠ADE=∠C=90°；

（2）先設BE=x，則AE=2x，通過證明△ADB∽△DEB，列比例式可得BD的長，根據三角函數可得∠EAD=∠CAD=30°，可得結論；

（3）如圖3，過E作ER⊥BC于R，延長ED、AC交于點M，過G作GN⊥EM于N，先根據AE=2BE，可得BE和ED的長，設FL=x，根據AF=AL+FL列方程可得x的值，表示KD、KN和GN的長，根據DT∥NG，得△KDT∽△KNG，列比例式可得DT的長．

證明：（1）如圖1，∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠AED+∠ADB=180°，∠ADB+∠ADC=180°，

∴∠AED=∠ADC，

∴△ADE∽△ACD，

∴∠ADE=∠C=90°，

∴AD⊥DE；

（2）如圖2，設BE=x，則AE=2x，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵∠AED+∠ADB=180°，

∠AED+∠BED=180°，

∴∠ADB=∠BED，

∵∠B=∠B，

∴△ADB∽△DEB，

∴，

∴，

∴BD2=3x2，

∴BD=x，

∴，

∴∠AED=60°，

∴∠EAD=∠CAD=30°，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC；

（3）如圖3，過E作ER⊥BC于R，延長ED、AC交于點M，過G作GN⊥EM于N，

∵AE=2+2，AE=2BE，

∴BE=+1，

∵∠ADC=60°，∠ADE=90°，

∴∠EDB=∠B=30°，

∴BE=DE=+1，

∴BD=2BR，

Rt△BER中，ER=BE=BR=，

∴BD=2BR=3+=AD=AF，

Rt△ADC中，∠DAC=30°，

∴DC=AD=，CM=，

DM=+1，

Rt△EFK中，EF=AE-AF=2+2-（+3）=-1，

∵∠AEK=60°，

∴EK=2EF=2-2，

∴DK=+1-(2-2)=3-，

∵∠AFH=45°，∠FAH=30°=∠GAH，

∴∠AHG=75°，∠AGH=180°-30°-75°=75°，

∴AG=AH，

過H作HL⊥AF于L，

∵∠LFH=45°，

∴FL=HL，

設FL=x，則HL=x，AH=AG=2x，AL=x，

∵AL+FL=AF，

∴x+x=3+，

x=，

∴AG=2，

∴CG=AC-AG=AB-AG=(2+2++1)-2，

∴GM=CG+CM=2，

R△GNM中，∠M=60°，∠NGM=30°，

∴MN=GM=1，

∴DN=DM-MN=+1-1=，GN=，

∴KN=KD+DN=3-+=3，

∵DT//NG，

∴△KDT∽△KNG，

∴，

∴，

∴DT=-1．