Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上一點，OQ⊥BC于點Q，過點B作半圓O的切線，交OQ的延長線于點P，PA交半圓O于R，則下列等式中正確的是（　　）

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】A

【解析】

（1）連接AQ，易證△OQB∽△OBP，得到，也就有，可得△OAQ∽OPA，從而有∠OAQ＝∠APO．易證∠CAP＝∠APO，從而有∠CAP＝∠OAQ，則有∠CAQ＝∠BAP，從而可證△ACQ∽△ABP，可得，所以A正確．

（2）由△OBP∽△OQB得，即，由AQ≠OP得，故C不正確．

（3）連接OR，易得，，得到，故B不正確．

（4）由及AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR可得，由AB≠AP得，故D不正確．

解：（1）連接AQ，如圖1，

∵BP與半圓O切于點B，AB是半圓O的直徑，

∴∠ABP＝∠ACB＝90°．

∵OQ⊥BC，

∴∠OQB＝90°．

∴∠OQB＝∠OBP＝90°．

又∵∠BOQ＝∠POB，

∴△OQB∽△OBP．

∴．

∵OA＝OB，

∴．

又∵∠AOQ＝∠POA，

∴△OAQ∽△OPA．

∴∠OAQ＝∠APO．

∵∠OQB＝∠ACB＝90°，

∴AC∥OP．

∴∠CAP＝∠APO．

∴∠CAP＝∠OAQ．

∴∠CAQ＝∠BAP．

∵∠ACQ＝∠ABP＝90°，

∴△ACQ∽△ABP．

∴．

故A正確．

（2）如圖1，

∵△OBP∽△OQB，

∴．

∴．

∵AQ≠OP，

∴．

故C不正確．

（3）連接OR，如圖2所示．

∵OQ⊥BC，

∴BQ＝CQ．

∵AO＝BO，

∴OQ＝AC．

∵OR＝AB．

∴，．

∴．

∴．

故B不正確．

（4）如圖2，

∵，

且AC＝2OQ，AB＝2OB，OB＝OR，

∴．

∵AB≠AP，

∴．

故D不正確．

故選：A．