Question

【題目】通過類比聯想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補充完整．

原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF=45°，

連接EF，則EF=BE+DF，試說明理由．

（1）思路梳理

∵AB=AD

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合

∵∠ADC=∠B=90°

∴∠FDG=180°

∴點F、D、G共線

根據 ，易證△AFG≌ ，進而得EF=BE+DF．

（2）聯想拓展

如圖2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE=45°．猜想BD、DE、EC應滿足的數量關系，并寫出推理過程．

Answer 1

【答案】（1）SAS；△AFE；(2) BD2+EC2=DE2

【解析】

試題分析：（1）根據三角形全等的條件可求解；

（2）根據旋轉的性質和全等三角形的性質與判定可求解.

試題解析：（1）SAS；△AFE

(2)把△ABD繞A點逆時針旋轉90°至△ACG，可使AB與AC重合，根據旋轉的性質，全等三角形的性質和勾股定理，可得到BD2+EC2=DE2。

推理過程如下：

∵AB=AC，

∴把△ABD繞A點逆時針旋轉90°至△ACG，可使AB與AC重合（如圖）。

且△ACG≌△ABD

∴AG=AD

∵△ABC中，∠BAC=90°，

∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，即∠ECG=90°。

∴EC2+CG2=EG2。

在△AEG與△AED中，

∠EAG=∠EAD。

AD=AG，AE=AE，

∴△AEG≌△AED（SAS）。

∴DE=EG。

又∵CG=BD，

∴BD2+EC2=DE2