Question

【題目】如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上，∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，⊙O是△ABD的外接圓．

（1）求證：AC是⊙O的切線；
（2）當BD是⊙O的直徑時（如圖2），求∠CAD的度數．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接AO，延長AO交⊙O于點E，則AE為⊙O的直徑，連接DE，如圖所示：

∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，∠ADB=∠ACB+∠CAD，

∴∠ABC=∠CAD，

∵AE為⊙O的直徑，

∴∠ADE=90°，

∴∠EAD=90°﹣∠AED，

∵∠AED=∠ABD，

∴∠AED=∠ABC=∠CAD，

∴∠EAD=90°﹣∠CAD，

即∠EAD+∠CAD=90°，

∴EA⊥AC，

∴AC是⊙O的切線；

（2）解：∵BD是⊙O的直徑，

∴∠BAD=90°，

∴∠ABC+∠ADB=90°，

∵∠ABC：∠ACB：∠ADB=1：2：3，

∴4∠ABC=90°，

∴∠ABC=22.5°，

由（1）知：∠ABC=∠CAD，

∴∠CAD=22.5°．

【解析】（1）證明切線須連接半徑，證直線與半徑垂直；（2）利用直徑所對的圓周角等于90度可得出4∠ABC=90°，再轉化為∠CAD=22.5°．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解圓周角定理的相關知識，掌握頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，以及對三角形的外接圓與外心的理解，了解過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心．