Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC,點A的坐標是(4，0)，點B的坐標是(2，3)，點C在x軸的負半軸上,且AC=6.

(1)直接寫出點C的坐標.

(2)在y軸上是否存在點P，使得S△POB=S△ABC若存在,求出點P的坐標;若不存在，請說明理由.

(3)把點C往上平移3個單位得到點H，作射線CH,連接BH，點M在射線CH上運動(不與點C、H重合).試探究∠HBM，∠BMA，∠MAC之間的數量關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】(1)C(-2，0)；(2)點P坐標為(0，6)或(0，-6)；(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，證明見解析.

【解析】

(1)由點A坐標可得OA=4，再根據C點x軸負半軸上，AC=6即可求得答案；

(2)先求出S△ABC=9，S△BOP=OP，再根據S△POB=S△ABC，可得OP=6，即可寫出點P的坐標；

(3)先得到點H的坐標，再結合點B的坐標可得到BH//AC，然后根據點M在射線CH上，分點M在線段CH上與不在線段CH上兩種情況分別進行討論即可得.

(1)∵A(4，0)，

∴OA=4，

∵C點x軸負半軸上，AC=6，

∴OC=AC-OA=2，

∴C(-2，0)；

(2)∵B(2，3)，

∴S△ABC=×6×3=9，S△BOP=OP×2=OP，

又∵S△POB=S△ABC，

∴OP=×9=6，

∴點P坐標為(0，6)或(0，-6)；

(3)∠BMA=∠MAC±∠HBM，證明如下：

∵把點C往上平移3個單位得到點H，C(-2，0)，

∴H(-2，3)，

又∵B(2，3)，

∴BH//AC；

如圖1，當點M在線段HC上時，過點M作MN//AC，

∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，

∴∠HBM=∠BMN，

∵∠BMA=∠BMN+∠AMN，

∴∠BMA=∠HBM+∠MAC；

如圖2，當點M在射線CH上但不在線段HC上時，過點M作MN//AC，

∴∠MAC=∠AMN，MN//HB，

∴∠HBM=∠BMN，

∵∠BMA=∠AMN-∠BMN，

∴∠BMA=∠MAC-∠HBM；

綜上，∠BMA=∠MAC±∠HBM.