Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動，點Q沿DA邊從點D開始向A以1cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發，用t秒表示移動的時間(0≤t≤6)那么:

(1)當t為何值時，△QAP為等腰直角三角形？

(2)對四邊形QAPC的面積，提出一個與計算結果有關的結論；

(3)當t為何值時，以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似？

Answer 1

【答案】(1) t=2秒；(2)在P、Q兩點移動的過程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變(或P、Q兩點到對角線AC的距離之和保持不變)；(3)①t=1.2，②t=3.

【解析】

(1)分別用t表示出QA和AP，則按QA=AP求解即可；

(2)觀察圖形可得S△QPC=S△QAC+S△APC，然后用含t的表達式分別求解S△QAC和S△APC，根據運算結果即可發現相關結論；

(3)分△QAP∽△ABC和△PAQ∽△ABC兩種情況進行討論即可.

(1)對于任何時刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t，

當QA=AP時，△QAP是等腰直角三角形，即6-t=2t，t=2秒.

(2)S△QPC=S△QAC+S△APC =(36-6t)+6t=36cm2，

在P、Q兩點移動的過程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變(或P、Q兩點到對角線AC的

距離之和保持不變)

(3)分兩種情況:

①當時△QAP∽△ABC，則，從而t=1.2s，

②當時△PAQ∽△ABC，則，從而t=3s.