Question

【題目】如圖，△ABC的內角∠ABC和外角∠ACD的平分線相交于點E，BE交AC于點F，過點E作EG∥BD交AB于點G，交AC于點H，連接AE，有以下結論：

①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正確的結論有_____（將所有正確答案的序號填寫在橫線上）．

Answer 1

【答案】①③④.

【解析】

①根據角平分線的定義得到∠EBC=∠ABC，∠DCE=∠ACD，根據外角的性質即可得到結論；
②根據相似三角形的判定定理得到兩個三角形相似，不能得出全等；
③由BG=GE，CH=EH，于是得到BG-CH=GE-EH=GH．即可得到結論；
④由于E是兩條角平分線的交點，根據角平分線的性質可得出點E到BA、AC、BC和距離相等，從而得出AE為∠BAC外角平分線這個重要結論，再利用三角形內角和性質與外角性質進行角度的推導即可輕松得出結論．

①BE平分∠ABC，

∴∠EBC=∠ABC，

∵CE平分∠ACD，

∴∠DCE=∠ACD，

∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠DCE=∠CBE+∠BEC，

∴∠EBC+∠BEC= (∠BAC+∠ABC)=∠EBC+∠BAC，

∴∠BEC=∠BAC，故①正確；

∵②△HEF與△CBF只有兩個角是相等的，能得出相似，但不含相等的邊，所以不能得出全等的結論，故②錯誤；

③BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵GE∥BC，

∴∠CBE=∠GEB，

∴∠ABE=∠GEB，

∴BG=GE，

同理CH=HE，

∴BGCH=GEEH=GH，

∴BG=CH+GH，

故③正確；

④過點E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如圖，

∵BE平分∠ABC，

∴EM=ED，

∵CE平分∠ACD，

∴EN=ED，

∴EN=EM，

∴AE平分∠CAM，

設∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如圖，

則∠BAC=1802z，∠ACB=1802x，

∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180，

∴2y+1802z+1802x=180，

∴x+z=y+90，

∵z=y+∠AEB，

∴x+y+∠AEB=y+90，

∴x+∠AEB=90，

即∠ACE+∠AEB=90，

故④正確.

故答案為：①③④.