Question

【題目】猜想與證明：如圖①擺放矩形紙片ABCD與矩形紙片ECGF，使B，C，G三點在一條直線上，CE在邊CD上．連結AF，若M為AF的中點，連結DM，ME，試猜想DM與ME的數量關系，并證明你的結論．

拓展與延伸：

(1)若將“猜想與證明”中的紙片換成正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，其他條件不變，則DM和ME的關系為__________________；

(2)如圖②擺放正方形紙片ABCD與正方形紙片ECGF，使點F在邊CD上，點M仍為AF的中點，試證明(1)中的結論仍然成立．[提示：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半]

① 　②

Answer 1

【答案】猜想與證明：猜想DM與ME的數量關系是：DM＝ME，證明見解析；拓展與延伸：(1)DM＝ME，DM⊥ME；(2)證明見解析

【解析】

猜想：延長EM交AD于點H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明．

（1）延長EM交AD于點H，利用△FME≌△AMH，得出HM=EM，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明，

（2）連接AC，AC和EC在同一條直線上，再利用直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半證明，

解：猜想與證明：

猜想DM與ME的數量關系是：DM＝ME.

證明：如圖①，延長EM交AD于點H.

①

∵四邊形ABCD、四邊形ECGF都是矩形，

∴AD∥BG，EF∥BG，∠HDE＝90°.

∴AD∥EF.

∴∠AHM＝∠FEM.

又∵AM＝FM，∠AMH＝∠FME，

∴△AMH≌△FME.

∴HM＝EM.

又∵∠HDE＝90°，

∴DM＝EH＝ME；

（1）∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，
∴AD∥EF，
∴∠EFM=∠HAM，
又∵∠FME=∠AMH，FM=AM，
在△FME和△AMH中，
，

∴△FME≌△AMH（ASA）
∴HM=EM，
在RT△HDE中，HM=EM，
∴DM=HM=ME，
∴DM=ME．
∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，
∴AD=CD，CE=EF，
∵△FME≌△AMH，
∴EF=AH，
∴DH=DE，
∴△DEH是等腰直角三角形，
又∵MH=ME，

故答案為：DM＝ME，DM⊥ME；

（2）證明：如圖②，連結AC.

②

∵四邊形ABCD、四邊形ECGF都是正方形，

∴∠DCA＝∠DCE＝∠CFE＝45°，

∴點E在AC上．

∴∠AEF＝∠FEC＝90°.

又∵點M是AF的中點，

∴ME＝AF.

∵∠ADC＝90°，點M是AF的中點，

∴DM＝AF.

∴DM＝ME.

∵ME＝AF＝FM，DM＝AF＝FM，

∴∠DFM＝ (180°－∠DMF)，∠MFE＝ (180°－∠FME)，

∴∠DFM＋∠MFE＝ (180°－∠DMF)＋ (180°－∠FME)

＝180°－ (∠DMF＋∠FME)

＝180°－∠DME.

∵∠DFM＋∠MFE＝180°－∠CFE＝180°－45°＝135°，

∴180°－∠DME＝135°.

∴∠DME＝90°.

∴DM⊥ME.