Question

【題目】如圖，已知二次函數 y＝ax2+bx 的圖象與 x 軸交于點 O（0，0）和 點 B，拋物線的對稱軸是直線 x＝3．點 A 是拋物線在第一象限上的一個動點， 過點 A 作 AC⊥x 軸，垂足為 C．S△AOB＝3S△ABC，AC2＝OCBC．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）拋物線的對稱軸與 x 軸交于點 M．連接 AM，點 N 是線段 OA 上的一點．當 ∠AMN＝∠AOM 時，求點 N 的坐標；

（3）點 P 是拋物線上的一個動點．點 Q 是 y 軸上的一動點．當以 A，B，P，Q 四個點為頂點的四邊形為平行四邊形時，直接寫出點 P 坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝； （2）；（3）點 P 為（2，﹣2）或（﹣2，4）或（14，28）時以 A，B，P，Q 四個點為頂點 的四邊形為平行四邊形．

【解析】

（1）根據二次函數的對稱性以及對稱軸可以確定點B的坐標，然后結合題目中給到的面積關系求出,從而確定,根據求出便可以確定點的坐標，把點和點代入二次函數解析式聯立方程組便可求解；

（2）利用可以證明，結合相似的性質可以得到,而可以用勾股定理求出，可以用兩點間的距離公式求出，從而解出,由于在正比例函數上，所以可以求出直線的解析式，設出的坐標，利用兩點間的距離公式表示出，最后解出點的坐標；

（3）根據已知邊進行分類討論，可能是平行四邊形的對角線，也可能是四邊形的邊，然后再根據平行四邊形的性質特點，即對角線交點即為對角線的中點，分別解出每種情況下點的坐標；

（1） 函數對稱軸為，且與軸交于

,則

又

點的坐標為：

將點，代入，解得：，

二次函數的解析式為：

（2） 拋物線的對稱軸與軸交于點,

又

又

設直線的解析式為，把代入得：

解得：

直線的解析式為

設，

解得：（不合題意，舍去）

當時，

（3）設

①當為平行四邊形的邊時，分為以下兩種情況：

i：四邊形為平行四邊形，和為對角線，

此時的中點橫坐標為3，的中點橫坐標為

解得：

ii: 四邊形為平行四邊形，和為對角線

此時的中點橫坐標為4，的中點橫坐標為

解得：

②當為平行四邊形的對角線時，也為對角線

此時的中點橫坐標為7，的中點橫坐標為

解得：

綜上所述，當以 A，B，P，Q 四個點為頂點的四邊形為平行四邊形時，點 P的坐標可能是：（2，﹣2）或（﹣2，4）或（14，28）；