Question

【題目】如圖，拋物線y＝﹣x2+2mx+m+2的圖象與x軸交于A（﹣1，0），B兩點，在x軸上方且平行于x軸的直線EF與拋物線交于E，F兩點，E在F的左側，過E，F分別作x軸的垂線，垂足是M，N．

（1）求m的值及拋物線的頂點坐標；

（2）設BN＝t，矩形EMNF的周長為C，求C與t的函數表達式；

（3）當矩形EMNF的周長為10時，將△ENM沿EN翻折，點M落在坐標平面內的點記為M'，試判斷點M'是否在拋物線上？并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+4，頂點坐標為（1，4）；（2）C＝﹣2t2+4t+8；（3）點M'不在拋物線上．

【解析】

（1）因為拋物線上的點的坐標符合解析式，將A的坐標代入解析式即可求得m的值，進而求出解析式，即可求得頂點坐標；

（2）求出A、B兩點坐標，可表示出MN的長，求出F點縱坐標，可知NF的長，利用矩形面積公式即可求出C與t的函數表達式；

（3）根據翻折變換的性質（翻折前后圖形全等），結合勾股定理，求出M’點坐標，代入二次函數解析式驗證．

（1）由于拋物線過點A（﹣1，0），

于是將A代入y＝﹣x2+2mx+m+2

得﹣1﹣2m+m+2＝0，

解得m＝1，

函數解析式為y＝﹣x2+2x+3，

解析式可化為y＝﹣（x﹣1）2+4，頂點坐標為（1，4）．

（2）因為函數解析式為y＝﹣x2+2x+3，

所以當y＝0時可得﹣x2+2x+3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3，

則AB＝3﹣（﹣1）＝4．

又因為BN＝t，M、N關于對稱軸對稱，

所以AM＝t．于是MN＝4﹣2t，

N點橫坐標為3﹣t，代入拋物線得：yF＝﹣t2+4t．

于是C＝2（4﹣2t）﹣2（t﹣2）2+8，

整理得C＝﹣2t2+4t+8；

（3）當﹣2t2+4t+8＝10時，解得t＝1，MN＝4﹣2t＝4﹣2＝2；

FN＝﹣12+4＝3，

因為t＝1，所以M與O點重合，

連接MM'、EN，且MM'和EN相交于K，根據翻折變換的性質，MK＝M'K．

根據同一個三角形面積相等，2×3＝MK

于是MK＝，MM'＝

作M'H⊥MN的延長線于H．

設NH＝a，HM′＝b，

于是在Rt△NHM'和RT△MHM'中，

，

解得a＝，b＝．

于是MH＝2+＝．

M'點坐標為（，），

代入函數解析式y＝﹣x2+2x+3，y＝﹣x2+2x+3＝﹣（）2+2×+3＝≠，

∴點M'不在拋物線上．