Question

【題目】如圖，在四邊形ABCD中，DC∥AB，DA⊥AB，AD=4cm，DC=5cm，AB=8cm．如果點P由B點出發沿BC方向向點C勻速運動，同時點Q由A點出發沿AB方向向點B勻速運動，它們的速度均為1cm/s，當P點到達C點時，兩點同時停止運動，連接PQ，設運動時間為t s，解答下列問題：

（1）當t為何值時，P，Q兩點同時停止運動；

（2）設△PQB的面積為S，當t為何值時，S取得最大值，并求出最大值；

（3）當△PQB為等腰三角形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）t=5秒；（2）當t=4時，S的最大值是；（3）t=秒或t=4秒或t=秒．

【解析】

（1）∵當P點到達C點時，兩點同時停止運動，∴求出BC長是關鍵，再除以1即得t值，作CE⊥AB于E，利用勾股定理求出BC的長，再除以速度即可；

（2）由已知條件，把△PQB的邊QB用含t的代數式表示出來，作PF⊥QB于F，△PQB的高PF可由相似三角形對應線段成比例，也用含t的代數式表示出來，代入三角形的面積公式可得到一個二次函數，即可求出S的最大值；

（3）通過作輔助線構造直角三角形，由勾股定理用含t的代數式把△PQB三邊表示出來，根據線段相等列出含t的方程式求解，即可求得結論．

解：（1）先求BC長，作CE⊥AB于E，

∵DC∥AB，DA⊥AB，∴四邊形AECD是矩形，

∴AE=DC=5，CE=AD=4，

∴BE=8-5=3，∴BC==5，

∵P到C時，P、Q同時停止運動，

∴t=5÷1=5（秒），即t=5秒時，P，Q兩點同時停止運動；

（2）由題意知，AQ=BP=t，∴QB=8﹣t，

作PF⊥QB于F，CE⊥AB于E，PF∥CE，

則△BPF～△BCE，∴

代入數值：，∴PF=，

∴S=QBPF=×（8﹣t）==﹣（t﹣4）2+（0＜t≤5），

∵﹣＜0，

∴S有最大值，當t=4時，S的最大值是；

（3）作PF⊥QB于F，CE⊥AB于E，

∵cos∠B==，同時cos∠B=，即=，

∴BF=t，∴QF=AB﹣AQ﹣BF=8-t-t=8﹣，

利用勾股定理：QP===，

又∵PB=t,QB=8-t

若△PQB為等腰三角形，則討論三種情況：①PQ=PB；②PQ=BQ；③QB=BP．

建立含t的方程：①當PQ=PB時，即t=，

化簡得：11-128t+320=0，解得t1=8，8>5，不合題意舍去，

∴PQ=PB時t=；

②當PQ=BQ時，即=8﹣t，化簡得：，

解得：t1=0（舍去），t2=，∴PQ=BQ時t=；

③當QB=BP，即8﹣t=t，解得：t=4．

綜上所述：當t=秒或t=4秒或t=秒時，△PQB為等腰三角形．