Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，點O在對角線AC上，以OA的長為半徑的⊙O與AD，AC分別交于點E，F，且∠ACB=∠DCE．

（1）判斷直線CE與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若tan∠ACB=，BC=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）直線CE與⊙O相切，理由詳見解析；（2）

【解析】

（1）連接OE，由四邊形ABCD是矩形，得到∠3=∠1，∠2+∠5=90°，而OA=OE，∠1=∠2，所以∠3=∠4，∠4=∠2，故∠4+∠5=90°得到∠OEC=90°，根據切線的判定定理即得到CE是⊙O的切線；

（2）作OG⊥AE交線段AE于G點，根據tan∠ACB=先求出AB的長度和DE的長度，然后分別求出AG和OG的長度，利用勾股定理求出OA的長度即可解答.

（1）直線CE與⊙O相切．

證明：如圖，連接OE，

∵ 矩形ABCD中，BC∥AD， ∴ ∠1=∠3．

又∠1=∠2， ∴ ∠2=∠3．

則∠3=∠4．

∴ ∠2=∠4．

∵ ∠2+∠5=90°， ∴ ∠4+∠5=90°．

∴ ∠OEC=90°，即OE⊥CE， ∴ 直線CE與⊙O相切．

（2）解：∵ tan ∠ACB==， BC=4．

∴ AB=BC·tan ∠ACB=2．

又 ∠1=∠2．

∴ DE=DC·tan ∠DCE= DC·tan ∠ACB= 1．

過點O作OG⊥AE于點G，則 AG=AE=．

∵ OG=AG·tan∠DAC= AG·tan∠ACB =×=，

∴ OA===．