Question

【題目】某校組織數學興趣探究活動，愛思考的小實同學在探究兩條直線的位置關系查閱資料時發現，兩條中線互相垂直的三角形稱為“中垂三角形”．如圖1、圖2、圖3中，、是的中線，于點，像這樣的三角形均稱為“中垂三角形”．

（特例探究）

（1）如圖1，當，時，_____，______；

如圖2，當，時，_____，______；

（歸納證明）

（2）請你觀察（1）中的計算結果，猜想、、三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你的結論；

（拓展證明）

（3）如圖4，在中，，，、、分別是邊、的中點，連結并延長至，使得，連結，當于點時，求的長．

Answer 1

【答案】（1），，，；（2），證明見解析；（3）．

【解析】

(1)由三角函數的性質得到 根據三角形中位線的性質,得到EF//AB． ,由平行線分線段成比例可得，可求得PE、PE的長，再由勾股定理得到結果;由三角函數的性質得到 根據三角形中位線的性質,得到EF//AB． ，由平行線分線段成比例可得，可求得PE、PE的長再由勾股定理得到結果;

(2) 設，，則，，利用勾股定理用x、y、z分別表示出：、、，再用x、y、z分別表示出，，由 即可得出答案；

（3）連結，過點作交于點，交于點，可得四邊形是平行四邊形，可得是中垂三角形，即可知：，代入（2）中結論可求得

(1)解:如圖，連接EF

∵，，

∴

∵、是的中線，是交點

∴

∴

∴

∵

∴由勾股定理可得：

∴

如圖連接EF

∵，，

∴，

∵、是的中線，是交點

∴

∴

∴，

∵

∴由勾股定理可得：，

∴，

故答案為：，，，．

（2）,理由如下：

設，，則，

∵

∴

∴，

∴

即

（3）連結，過點作交于點，交于點，

∵，

∴

∵是的中點

∴是的中點

∵，是，的中點

∴，

∵

∴，

∴四邊形是平行四邊形

∴是的中點

∴是中垂三角形

∵，，

∴，

有（2）中結論可知：

∴