Question

已知：如圖，拋物線y=ax²+bx-2交x軸于A，B兩點，交y軸于點C，OC=OA，△ABC的面積為2．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若平行于x軸的動直線DE從點C開始，以每秒1個單位的速度沿y軸正方向平移，且分別交y軸、線段BC于點E、點D，同時動點P從點B出發，在線段OB上以每秒2個單位的速度向原點O運動．當點P運動到點O時，直線DE與點P都停止運動．連接DP，設點P的運動時間為t秒．
①當t為何值時，

1

ED

+

1

OP

的值最小，并求出最小值；
②是否存在t的值，使以P，B，D為頂點的三角形與△ABC相似．若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求出C的坐標，得到A、B的坐標，設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-4），代入點C的坐標求出a即可；
（2）①由題意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，由ED∥BA得出

ED

OB

=

CE

CO

，求出ED=2CE=2t，根據

1

ED

+

1

OP

=

1

2t

+

1

4-2t

=

4

2t(4-2t)

=

1

-t2+2t

，求出即可；②以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似有兩種情況：

BP

AB

=

BD

BC

和

BP

BD

=

BC

BA

代入求出即可．

解答：解：（1）如圖，由拋物線y=ax²+bx-2得：C（0，-2），
∴OA=OC=2，
∴A（2，0），
∵△ABC的面積為2，
∴AB=2，
∴B（4，0），
∴設拋物線的解析式為y=a（x-2）（x-4），代入點C（0，-2），
a=-

1

4

，

∴拋物線的解析式為y=-

1

4

(x-2)(x-4)=-

1

4

x2+

3

2

x-2，
答：拋物線的解析式為y=-

1

4

x²+

3

2

x-2．

（2）解：由題意：CE=t，PB=2t，OP=4-2t，
∵ED∥BA
可得：

ED

OB

=

CE

CO

，
即

ED

4

=

CE

2

，
∴ED=2CE=2t，
①

1

ED

+

1

OP

=

1

2t

+

1

4-2t

=

4

2t(4-2t)

=

1

-t2+2t

，
∵當t=1時，-t²+2t有最大值1，
∴當t=1時

1

ED

+

1

OP

的值最小，最小值為1．
答：當t為1時，

1

ED

+

1

OP

的值最小，最小值是1．

②解：由題意可求：CD=

5

t，CB=2

5

，
∴BD=2

5

-

5

t，
∵∠PBD=∠ABC，
∴以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似有兩種情況：
當

BP

AB

=

BD

BC

時，即

2t

2

=

2 5 - 5 t

2 5

，
解得：t=

2

3

，
當

BP

BD

=

BC

BA

時，即

2t

2 5 - 5 t

=

2 5

2

，
解得：t=

10

7

，
當t=

2

3

或t=

10

7

時，以P、B、D為頂點的三角形與△ABC相似．
答：存在t的值，使以P，B，D為頂點的三角形與△ABC相似，t的值是

2

3

或

10

7

．

點評：本題主要考查對二次函數的最值，用待定系數法求二次函數的解析式，解一元一次方程，相似三角形的性質和判定，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵．