Question

已知，如圖，拋物線y=ax²-2ax+c（a≠0）與y軸交于點C（0，4），與x軸交于點A，B，點A的坐標為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點M在拋物線上，且△ABC與△ABM的面積相等，直接寫出點M的坐標；
（3）點Q是線段AB上的動點，過點Q作QE∥AC，交BC于點E，連接CQ．當△CQE的面積最大時，求點Q的坐標；
（4）若平行于x軸的動直線l與線段AC交于點F，點D的坐標為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請求出直線l的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據A，C兩點坐標，利用待定系數法求二次函數解析式即可；
（2）根據△ABC與△ABM的面積相等，得出M的縱坐標為：±4，進而得出x的值即可；
（3）利用相似三角形的性質得出S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，進而求出即可；
（4）利用圖象以及等腰三角形的性質假設若DO=DF時以及當FO=FD和當DF=OD時分別得出F點的坐標，將縱坐標代入二次函數解析式即可求出P點坐標．

解答：解：（1）∵點C（0，4），
∴c=4，
∵點A的坐標為（4，0），
∴0=16a-8a+4，
∴a=-

1

2

，
∴y=-

1

2

x²+x+4；

（2）∵△ABC與△ABM的面積相等，
C點坐標為：（0，4），
∴M的縱坐標為：±4，
∴4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=0，x ₂=2，
∴M點的坐標為：（2，4），
當-4=-

1

2

x²+x+4；
解得：x ₁=1+

17

，x ₂=1-

17

，
∴M點的坐標為：（1+

17

，-4）或（1-

17

，-4），
∴綜上所述：M點的坐標為：（2，4）、（1+

17

，-4）或（1-

17

，-4）；

（3）∵B（-2，0，），AB=6，
S_△ABC=

1

2

×6×4=12，
設BQ=x，
∵EQ∥AC，
∴△BEQ∽△BCA，
∴（

BQ

AB

）²=

S△BEQ

S△ABC

=（

x

6

）²，
∴S_△BEQ=

x2

36

×12=

1

3

x²，
∴S_△CQE=

1

2

x×4-

1

3

x²=-

1

3

x²+2x，
當x=-

b

2a

=

2

2× 1 3

=3時，S_△CQE面積最大，
∴Q點坐標為（1，0）；

（4）存在，
在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（4，0），D（2，0），
∴AD=OD=DF=2，
又在Rt△AOC中，OA=OC=4，
∴∠OAC=45°，
∴∠DFA=∠OAC=45°，
∴∠ADF=90°，此時，點F的坐標為：（2，2），
由-

1

2

x²+x+4=2，
解得：x₁=1+

5

，x₂=1-

5

，
此時，點P的坐標為：P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）；
②若FO=FD，過點F作FM⊥x軸于點M，
由等腰三角形的性質得出：
OM=

1

2

OD=1，
∴AM=3，
∴在等腰三角形△AMF中，MF=MA=3，
∴F（1，3），
由-

1

2

x²+x+4=3，
解得：x₁=1+

3

，x₂=1-

3

，
此時，點P的坐標為：P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）；
③若OD=OF，∵OA=OC=4，且∠AOC=90°，
∴AC=4

2

，
∴點O到AC的距離為2

2

，而OF=OD=2＜2

2

，
∴此時，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．
綜上所述：存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，所求點P的坐標為：
P（1+

5

，2）或P（1-

5

，2）或P（1+

3

，3）或P（1-

3

，3）．

點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用和相似三角形的性質和等腰三角形的性質等知識，根據已知得出（

BQ

AB

）²=

S△BEQ

S△ABC

=（

x

6

）²是解題關鍵．