Question

【題目】問題情境：

在綜合與實踐課上，老師讓同學們以“矩形紙片的剪拼”為主題開展數學活動.如圖1，將矩形紙片沿對角線剪開，得到和.并且量得，.

操作發現：

（1）將圖1中的以點為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，使，得到如圖2所示的，過點作的平行線，與的延長線交于點，則四邊形的形狀是________.

（2）創新小組將圖1中的以點為旋轉中心，按逆時針方向旋轉，使、、三點在同一條直線上，得到如圖3所示的，連接，取的中點，連接并延長至點，使，連接、，得到四邊形，發現它是正方形，請你證明這個結論.

實踐探究：

（3）縝密小組在創新小組發現結論的基礎上，進行如下操作：將沿著方向平移，使點與點重合，此時點平移至點，與相交于點，如圖4所示，連接，試求的值.

Answer 1

【答案】（1）菱形；（2）證明見解析；（3）

【解析】（1）根據菱形的判定方法進行判定即可.

根據正方形的判定方法進行判定即可.

在Rt△ABC中，根據sin∠ACB=，求出∠ACB=30°，在Rt△BCH中，求出在Rt△ABH中，求出的長度，根據銳角三角函數的定義求解即可.

（1）在如圖1中，
∵AC是矩形ABCD的對角線，
∴∠B=∠D=90°，AB∥CD，
∴∠ACD=∠BAC，
在如圖2中，由旋轉知，AC'=AC，∠AC'D=∠ACD，
∴∠BAC=∠AC'D，
∵∠CAC'=∠BAC，
∴∠CAC'=∠AC'D，
∴AC∥C'E，
∵AC'∥CE，
∴四邊形ACEC'是平行四邊形，
∵AC=AC'，
∴ACEC'是菱形，
故答案為：菱形；
（2）在圖1中，∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAD=∠ACB，∠B=90°，
∴∠BAC+∠ACB=90°，
在圖3中，由旋轉知，∠DAC'=∠DAC，
∴∠ACB=∠DAC'，
∴∠BAC+∠DAC'=90°，
∵點D，A，B在同一條直線上，
∴∠CAC'=90°，
由旋轉知，AC=AC'，
∵點F是CC'的中點，
∴AG⊥CC'，CF=C'F，
∵AF=FG，
∴四邊形ACGC'是平行四邊形，
∵AG⊥CC'，
∴ACGC'是菱形，
∵∠CAC'=90°，
∴菱形ACGC'是正方形；
（3）在Rt△ABC中，AB=2，AC=4，
∴BC'=AC=4，BD=BC=2，sin∠ACB=，
∴∠ACB=30°，
由（2）結合平移知，∠CHC'=90°，
在Rt△BCH中，∠ACB=30°，
∴BH=BCsin30°=，
∴
在Rt△ABH中，AH=AB=1，
∴CH=AC-AH=4-1=3，
在Rt△CHC'中，tan∠C′CH= ．