Question

【題目】如圖，中，，現有兩點、分別從點A、點B同時出發，沿三角形的邊運動，已知點M的速度為1cm/s，點N的速度為2 cm/s.當點N第一次到達B點時，、同時停止運動.

（1）點、運動幾秒時，、兩點重合？

（2）點、運動幾秒時，可得到等邊三角形？

（3）當點、在BC邊上運動時，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請求出此時、運動的時間.

Answer 1

【答案】（1）12；（2）4；（3）能，此時M、N運動的時間為16秒．

【解析】

（1）首先設點M、N運動x秒后，M、N兩點重合，表示出M，N的運動路程，N的運動路程比M的運動路程多12cm，列出方程求解即可；

（2）根據題意設點M、N運動t秒后，可得到等邊三角形△AMN，然后表示出AM，AN的長，由于∠A等于60°，所以只要AM=AN，三角形ANM就是等邊三角形；

（3）首先假設△AMN是等腰三角形，可證出△ACM≌△ABN，可得CM=BN，設出運動時間，表示出CM，NB，NM的長，列出方程，可解出未知數的值．

（1）設點M、N運動x秒時，M、N兩點重合，

x×1+12=2x，

解得：x=12；

（2）設點M、N運動t秒時，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，

AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t．

∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t=12﹣2t，

解得：t=4，∴點M、N運動4秒時，可得到等邊三角形△AMN．

（3）當點M、N在BC邊上運動時，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，

由（1）知12秒時M、N兩點重合，恰好在C處，

如圖②，假設△AMN是等腰三角形，∴AN=AM，∴∠AMN=∠ANM，∴∠AMC=∠ANB．

∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形，∴∠C=∠B，

在△ACM和△ABN中，

∵，∴△ACM≌△ABN，∴CM=BN，

設當點M、N在BC邊上運動時，M、N運動的時間y秒時，△AMN是等腰三角形，∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，

y﹣12=36﹣2y，

解得：y=16．故假設成立，∴當點M、N在BC邊上運動時，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時M、N運動的時間為16秒．