Question

【題目】已知如圖1，正方形ABCD，△CEF為等腰直角三角形，其中∠CFE＝90°，CF＝EF，連接CE，AE，AC，點G是AE的中點，連接FG

（1）用等式表示線段BF與FG的數量關系是　 　．

（2）若將△CEF繞頂點C旋轉，使得點F恰好在線段AC上，并且點E在線段AC的上方，點G仍是AE的中點，連接FG，DF

①在圖2中依據題意補全圖形；

②求證：DF＝FG．

Answer 1

【答案】（1）BF＝FG；（2）①見解析；②見解析．

【解析】

（1）先判斷出△AGB≌△CGB，得到∠GBF=45°，再判斷出△EFG≌△CFG，得到∠GFB=45°，從而得到△BGF為等腰直角三角形，即可求解；
（2）①按題意畫圖2即可；
②如圖2，連接BF、BG，證明△ADF≌△ABF得DF=BF，根據直角三角形斜邊中線的性質得：AG=EG=BG=FG，由圓的定義可知：點A、F、E、B在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，∠BGF=2∠BAC=90°，所以△BGF是等腰直角三角形，可得結論．

（1）BF＝FG，

理由是：如圖1，連接BG，CG，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，

∵EF⊥BC，FE＝FC，

∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，

∴∠ACE＝90°，

∵點G是AE的中點，

∴EG＝CG＝AG，

∵BG＝BG，

∴△AGB≌△CGB（SSS），

∴∠ABG＝∠CBG＝∠ABC＝45°，

∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，

∴△EFG≌△CFG（SSS），

∴∠EFG＝∠CFG＝（360°﹣∠BFE）＝（360°﹣90°）＝135°，

∵∠BFE＝90°，

∴∠BFG＝45°，

∴△BGF為等腰直角三角形，

∴BF＝FG．

故答案為：BF＝FG；

（2）①如圖2所示，

②如圖2，連接BF、BG，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，

∴∠BAC＝∠DAC＝45°，

∵AF＝AF，

∴△ADF≌△ABF（SAS），

∴DF＝BF，

∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，點G是AE的中點，

∴AG＝EG＝BG＝FG，

∴點A、F、E、B在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，

∵ ，∠BAC＝45°，

∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，

∴△BGF是等腰直角三角形，

∴BF＝FG，

∴DF＝FG．