Question

【題目】如圖1，在四邊形ABCD中，DC∥AB，BD平分∠ABC，CD＝4．

（1）求BC的長；

（2）如圖2，若∠ABC＝60°，過點D作DE⊥AB，過點C作CF⊥BD，垂足分別為E、F，連接EF．請判斷△DEF的形狀并證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）BC＝4；（2）△DEF是等邊三角形，證明詳見解析.

【解析】

（1）利用平行線的性質以及角平分線的性質得出對應角關系即可得出∠CDB=∠CBD進而得出AD=DC，

（2）利用等腰三角形的性質得出點F是BD的中點，再利用直角三角形的性質以及等邊三角形的判定得出答案．

解：（1）∵DC∥AB，

∴∠CDB＝∠ABD．

∵∠ABD＝∠CBD，

∴∠CDB＝∠CBD．

∴BC＝CD＝4．

（2）△DEF是等邊三角形．

∵BC＝CD，CF⊥BD．

∴BF＝DF．

又∵DE⊥AB，

∴EF＝BD＝DF．

∵∠BDE＝90°－∠EBD＝90°－×60°＝60°．

∴△DEF是等邊三角形．