Question

【題目】如圖1，四邊形ABCD，將頂點為A的角繞著頂點A順時針旋轉，若角的一條邊與DC的延長線交于點F，角的另一條邊與CB的延長線交于點E，連接EF．

●特例發現 若四邊形ABCD為正方形，當∠EAF＝45°時，則EF、DF、BE滿足數量關系為 ；

●深入探究 如圖2，如果在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，當∠EAF＝∠BAD時，則EF、DF、BE滿足數量關系為 ；

如圖3，如果四邊形ABCD中，AB＝AD，∠ABC與∠ADC互補，當∠EAF＝∠BAD 時，EF與DF、BE之間的數量關系是否發生改變？請給出詳細的證明過程；

●拓展應用 在（3）中，若BC=4，DC=7，CF=2，求△CEF的周長．

Answer 1

【答案】●特例發現， EF＝DF－BE；●深入探究 ，EF=DF－BE；EF＝DF－BE，證明見解析；●拓展應用△CEF的周長為15．

【解析】試題分析：“特例發現”與” “深入探究”解題思路一致，都是通過兩步全等來實現；在DC上截取DG=BE，第一步，首先證△ADG≌△ABE，得AE=AG；第二步，證△AGF≌△AEF，得EF=GF，由此得到DF、EF、BE的數量關系．

根據前三問的結論知：EF=DF-BE，那么△CEF的周長可轉化為：CE＋EF＋FC＝CE＋（DF－BE）＋FC ＝BC＋DC＋2FC，從而得解．

試題解析：●特例發現 EF＝DF－BE；

●深入探究 EF=DF－BE，

如圖4，在DC上截取DG，使DG=BE，連接AG．

∵∠D+∠ABC＝180°,∠ABC+∠ABE＝180°，

∴∠ABE＝∠D．

又∵AB＝AD，DG=BE，

∴△ABE≌△ADG（SAS）．

∴∠BAE＝∠DAG，AE＝AG．

又∵∠DAG＋∠BAF＝∠BAE＋∠BAF＝∠EAF＝∠BAD，

∴∠GAF＝∠BAD－（∠DAG＋∠BAF）＝∠BAD，

∴∠GAF=∠EAF．

∵AE＝AG （前面已證），AF＝AF，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF＝GF．

∴EF＝GF＝DF－DG＝DF－BE．

●拓展應用

△CEF的周長：CE＋EF＋FC＝CE＋（DF－BE）＋FC

＝（CE－BE）＋DF＋FC

＝（CE－BE）＋（DC＋FC）＋FC

＝BC＋DC＋2FC

＝4＋7＋2×2

＝15．