Question

【題目】已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．

(1)求拋物線的函數關系式；

(2)設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；

(3)在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)經過拋物線y＝ax2＋bx＋c，

∴可設拋物線為y＝a（x＋1）（x－3）。

又∵C(0，3) 經過拋物線，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。

∴拋物線的解析式為y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3。

（2）連接BC，直線BC與直線l的交點為P。 則此時的點P，使△PAC的周長最小。

設直線BC的解析式為y＝kx＋b，

將B(3，0)，C(0，3)代入，得：

，解得：。

∴直線BC的函數關系式y＝－x＋3。

當x－1時，y＝2，即P的坐標(1，2)。

（3）存在。點M的坐標為(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。

【解析】二次函數綜合題，待定系數法，曲線上點的坐標與方程的關系，線段中垂線的性質，三角形三邊關系，等腰三角形的性質。

（1）可設交點式，用待定系數法求出待定系數即可。

（2）由圖知：A、B點關于拋物線的對稱軸對稱，那么根據拋物線的對稱性以及兩點之間線段最短可知：若連接BC，那么BC與直線l的交點即為符合條件的P點。

（3）由于△MAC的腰和底沒有明確，因此要分三種情況來討論：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先設出M點的坐標，然后用M點縱坐標表示△MAC的三邊長，再按上面的三種情況列式求解：

∵拋物線的對稱軸為： x=1，∴設M(1，m)。

∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10。

①若MA＝MC，則MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1。

②若MA＝AC，則MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±。

③若MC＝AC，則MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，

當m＝6時，M、A、C三點共線，構不成三角形，不合題意，故舍去。

綜上可知，符合條件的M點，且坐標為(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。