Question

【題目】問題情境：如圖①，P是⊙O外的一點，直線PO分別交⊙O于點A、B，可以發現PA是點P到⊙O上的點的最短距離．

（1）直接運用：如圖②，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，以BC為直徑的半圓交AB于D，P是弧CD上的一個動點，連接AP，則AP的最小值是　 　．

（2）構造運用：如圖③，在邊長為8的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，請求出A′C長度的最小值．

（3）綜合運用：如圖④，平面直角坐標系中，分別以點A（﹣2，3），B（3，4）為圓心，分別以1、2為半徑作⊙A、⊙B，M、N分別是⊙A、⊙B上的動點，P為x軸上的動點，則PM+PN的最小值等于　 　．

Answer 1

【答案】（1）﹣1；（2）4﹣4；（3）﹣3

【解析】

（1）先確定出AP最小時點P的位置，如圖1中的P'的位置，即可得出結論；

（2）先判斷出A'M＝AM＝MD，再構造出直角三角形，利用銳角三角函數求出DH，MH，進而用用勾股定理求出CM，即可得出結論；

（3）利用對稱性確定出點B關于x軸的對稱點B'，即可求出結論.

（1）如圖1，取BC的中點E，

連接AE，交半圓于P'，在半圓上取一點P，連接AP，EP，

在△AEP中，AP+EP＞AE，

即：AP'是AP的最小值，

∵AE＝，P'E＝1，

∴AP'＝﹣1；

故答案為：﹣1；

（2）如圖2，由折疊知，A'M＝AM，

∵M是AD的中點，

∴A'M＝AM＝MD，

∴以點A'在以AD為直徑的圓上，

∴當點A'在CM上時，A'C的長度取得最小值，

過點M作MH⊥CD于H，

在Rt△MDH中，DH＝DMcos∠HDM＝2，MH＝DMsin∠HDM＝2，

在Rt△CHM中，CM＝＝4，

∴A'C＝CM﹣A'M＝4﹣4；

（3）如圖3，作⊙B關于x軸的對稱圓⊙B'，連接AB'交x軸于P，

∵B（3，4），

∴B'（3，﹣4），

∵A（﹣2，3），

∴AB'＝＝

∴PM+PN的最小值＝AB'﹣AM﹣B'N'＝AB'﹣AM﹣BN＝﹣3.

故答案為：﹣3.