Question

【題目】折紙是一項有趣的活動，在折紙過程中，我們可以通過研究圖形的性質和運動，確定圖形位置等，進一步發展空間觀念. 今天，就讓我們帶著數學的眼光來玩一玩折紙.

實踐操作

如圖1，將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使點落在矩形ABCD所在平面內，C和AD相交于點E，連接D.

解決問題

（1）在圖1中，①D和AC的位置關系是_____；②將△AEC剪下后展開，得到的圖形是____；

（2）若圖1中的矩形變為平行四邊形時(AB≠BC)，如圖2所示，結論①和結論②是否成立，若成立，請挑選其中的一個結論加以證明；若不成立，請說明理由；

拓展應用

（3）在圖2中，若∠B=30o，AB=，當A⊥AD時，BC的長度為_____.

Answer 1

【答案】(1) BD′∥AC，菱形；（2）成立，理由見解析；（3）4或6或8或12.

【解析】

（1）①根據內錯角相等兩直線平行即可判斷；
②根據菱形的判定方法即可解決問題；
（2）只要證明AE=EC，即可證明結論②成立；只要證明∠ADB′=∠DAC，即可推出B′D∥AC；
（3）先證得四邊形ACB′D是等腰梯形，分四種情形分別討論求解即可解決問題；

解：（1）①BD′∥AC．②將△AEC剪下后展開，得到的圖形是菱形；
故答案為BD′∥AC，菱形；
（2）①選擇②證明如下：

如圖2，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC=∠ACB，
∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∴∠ACB′=∠ACB，
∴∠DAC=∠ACB′，
∴AE=CE，
∴△AEC是等腰三角形；
∴將△AEC剪下后展開，得到的圖形四邊相等，
∴將△AEC剪下后展開，得到的圖形四邊是菱形．
②選擇①證明如下，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD=BC，
∵將△ABC沿AC翻折至△AB′C，
∵B′C=BC，
∴B′C=AD，
∴B′E=DE，
∴∠CB′D=∠ADB′，
∵∠AEC=∠B′ED，∠ACB′=∠CAD
∴∠ADB′=∠DAC，
∴B′D∥AC．
（3）∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四邊形ACB′D是等腰梯形，
∵∠B=30°，∴∠AB′C=∠CDA=30°，
∵△AB′D是直角三角形，
當∠B′AD=90°，AB＞BC時，如圖3中，

設∠ADB′=∠CB′D=y，
∴∠AB′D=y-30°，
解得y=60°，
∴∠AB′D=y-30°=30°，

∵AB′=AB=4

∴BC=4，
當∠ADB′=90°，AB＞BC時，如圖4，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四邊形ACB′D是等腰梯形，
∵∠ADB′=90°，
∴四邊形ACB′D是矩形，
∴∠ACB′=90°，
∴∠ACB=90°，

∵∠B=30°，AB=4

當∠B′AD=90°，AB＜BC時，如圖5，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，∠B′AD=90°，

∴∠AB′C=30°，
∴AE=4，BE′=2AE=8，
∴AE=EC=4，
∴CB′=12，
當∠AB′D=90°時，如圖6，

∵AD=BC，BC=B′C，
∴AD=B′C，
∵AC∥B′D，
∴四邊形ACDB′是平行四邊形，
∵∠AB′D=90°，
∴四邊形ACDB′是矩形，
∴∠BAC=90°，

∴已知當BC的長為4或6或8或12時，△AB′D是直角三角形．
故答案為：4或6或8或12；