Question

【題目】（本題滿分10分）如圖，已知⊙的直徑AB=12cm,AC是⊙的弦，過點C作⊙的切線交BA的延長線于點P，連接BC

（1）求證：∠PCA=∠B

（2）已知∠P=40°，點Q在優弧ABC上，從點A開始逆時針運動到點C停止（點Q與點C不重合），當△ABQ與△ABC的面積相等時，求動點Q所經過的弧長

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；

（2）當△ABQ與△ABC的面積相等時，動點Q所經過的弧長為或．

【解析】

試題（1）連接OC，由PC是⊙O的切線，得到∠1+∠PCA=90°，由AB是⊙O的直徑，得到∠2+∠B=90°，從而得到結論；

（2）△ABQ與△ABC的面積相等時，有兩種情況，即：當∠AOQ=∠AOC=50°時和當∠BOQ=∠AOC=50°時，分別求得點Q所經過的弧長即可．

試題解析：（1）連接OC，

∵PC是⊙O的切線，∴∠PCO=90°，∴∠1+∠PCA=90°，

∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠2+∠B=90°，

∵OC=OA，∴∠1=∠2，∴∠PCA=∠B；

（2）∵∠P=40°，∴∠AOC=50°，

∵AB=12，∴AO=6，

當∠AOQ=∠AOC=50°時，△ABQ與△ABC的面積相等，

∴點Q所經過的弧長=，

當∠BOQ=∠AOC=50°時，即∠AOQ=130°時，△ABQ與△ABC的面積相等，

∴點Q所經過的弧長=．

∴當△ABQ與△ABC的面積相等時，動點Q所經過的弧長為或．