Question

【題目】在一次數學研究性學習中，小兵將兩個全等的直角三角形紙片ABC和DEF拼在一起，使點A與點F重合，點C與點D重合（如圖1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并進行如下研究活動．

活動一：將圖1中的紙片DEF沿AC方向平移，連結AE，BD（如圖2），當點F與點C重合時停止平移．

（思考）圖2中的四邊形ABDE是平行四邊形嗎？請說明理由．

（發現）當紙片DEF平移到某一位置時，小兵發現四邊形ABDE為矩形（如圖3）．求AF的長．

活動二：在圖3中，取AD的中點O，再將紙片DEF繞點O順時針方向旋轉α度（0≤α≤90），連結OB，OE（如圖4）．

（探究）當EF平分∠AEO時，探究OF與BD的數量關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】【思考】是，理由見解析；【發現】；【探究】BD＝2OF，理由見解析；

【解析】

【思考】由全等三角形的性質得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，則AB∥DE，可得出結論；

【發現】連接BE交AD于點O，設AF＝x（cm），則OA＝OE＝（x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣x，由勾股定理可得，解方程求出x，則AF可求出；

【探究】如圖2，延長OF交AE于點H，證明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，則∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可證得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，則結論得證．

解：【思考】四邊形ABDE是平行四邊形．

證明：如圖，∵△ABC≌△DEF，

∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，

∴AB∥DE，

∴四邊形ABDE是平行四邊形；

【發現】

如圖1，連接BE交AD于點O，

∵四邊形ABDE為矩形，

∴OA＝OD＝OB＝OE，

設AF＝x（cm），則OA＝OE＝（x+4），

∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，

在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，

∴，

解得：x＝，

∴AF＝cm．

【探究】BD＝2OF，

證明：如圖2，延長OF交AE于點H，

∵四邊形ABDE為矩形，

∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，

∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，

∴∠ABD+∠BAE＝180°，

∴AE∥BD，

∴∠OHE＝∠ODB，

∵EF平分∠OEH，

∴∠OEF＝∠HEF，

∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，

∴△EFO≌△EFH（ASA），

∴EO＝EH，FO＝FH，

∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，

∴△EOH≌△OBD（AAS），

∴BD＝OH＝2OF．