Question

【題目】如圖，△DAC和△EBC均是等邊三角形，AE、BD分別與CD、CE交于點M、N，且A、C、B在同一直線上，有如下結論：①△ACE≌△DCB；②CM＝CN；③AC＝DN；④PC平分∠APB；⑤∠APD＝60°，其中正確結論有（　　）

A. 5個 B. 4個 C. 3個 D. 2個

Answer 1

【答案】B

【解析】

利用邊角邊即可證明△ACE與△DCB全等，然后根據全等三角形對應角相等可得∠CAM＝∠CDN，再利用角邊角證明△ACM≌△DCN，根據全等三角形對應邊相等可得CM＝CN，DN＝AM，同理可證明△BCN≌△ECM，根據全等三角形對應邊相等可得BN＝EM，根據三角形面積公式求出CQ＝CH，即可判斷④，根據三角形外角性質推出∠APD＝60°．

∵△DAC和△EBC都是等邊三角形，

∴∠ACD＝∠BCE＝60°，

∴∠ACE＝∠DCB＝120°，

在△ACE與△DCB中，

AC＝DC，∠ACE＝∠DCB，CB＝CE，

∴△ACE≌△DCB(SAS)，故①正確；

∴∠CAM＝∠CDN，

在△ACM與△DCN中

∠CAM＝∠CDN，AC＝DC，∠ACM＝∠DCN＝60°，

∴△ACM≌△DCN(ASA)，

∴CM＝CN，故②正確；

DN＝AM，

在△AMC中，AC＞AM，

∴AC≠DN，故③錯誤；

過C作CQ⊥DB于Q，CH⊥AE于H，

∵△ACM≌△DCN，

∴△ACM和△DCN的面積相等，

∵DN＝AM，

∴由三角形面積公式得：CQ＝CH，

∴CP平分∠APB，∴④正確；

∵△ACE≌△DCB，

∴∠AEC＝∠DBC，

∵∠ECB＝60°，

∴∠EAC＋∠AEC＝∠ECB＝60°，

∴∠APD＝∠EAC＋∠ABP＝∠EAC＋∠AEC＝60°

∴⑤正確；

故選B.