Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°點D從點C出發沿CA方向以每秒2個單位長度的速度向點A勻速運動，同時點E從點A出發沿AB方向以每秒1個單位長度的速度向點B勻速運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動．設點D、E運動的時間是t秒（t＞0），過點D作DF⊥BC于點F，連接DE、EF．

（1）DF＝　 　；（用含t的代數式表示）

（2）求證：△AED≌△FDE；

（3）當t為何值時，△DEF是等邊三角形？說明理由；

（4）當t為何值時，△DEF為直角三角形？（請直接寫出t的值．）

Answer 1

【答案】（1）t；（2）證明見解析；（3）；（4） 或4.

【解析】

（1）由∠DFC＝90°，∠C＝30°，證出DF＝t；
（2）證明得DF∥AB，所以∠AED＝∠FDE，然后可得△AED≌△FDE；

（3）先證明四邊形AEFD為平行四邊形．得出AB＝5，AD＝AC－DC＝10－2t，若△DEF為等邊三角形，△EDA是等邊三角形，得出AE＝AD，t＝10－2t，求出t＝；
（4）因為△AED≌△FDE，所以當△DEF為直角三角形時，△EDA是直角三角形，然后分情況討論即可求解.

解：（1）∵DF⊥BC，

∴∠CFD＝90°．

在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠C＝30°，CD＝2t，

∴DF＝CD＝t．

故答案為：t．

（2）證明：∵∠CFD＝90°，∠B＝90°，

∴DF∥AB，

∴∠AED＝∠FDE．

在△AED和△FDE中，AF＝FD＝t,∠AED＝∠FDE,DE＝DE，

∴△AED≌△FDE（SAS）．

（3）∵△AED≌△FDE，

∴當△DEF是等邊三角形時，△EDA是等邊三角形．

∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，

∴AD＝AE．

∵AE＝t，AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，

∴t＝10﹣2t，

∴t＝，

∴當t為時，△DEF是等邊三角形．

（4）∵△AED≌△FDE，

∴當△DEF為直角三角形時，△EDA是直角三角形．

當∠AED＝90°時，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，

解得：t＝；

當∠ADE＝90°時，AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t），

解得：t＝4．

綜上所述：當t為或4時，△DEF為直角三角形．