Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，O是AC與BD的交點，過O點的直線EF與AB，CD的延長線分別交于E，F．

（1）求證：△BOE≌△DOF；

（2）當EF與AC滿足什么關系時，以A，E，C，F為頂點的四邊形是菱形？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形，證明見解析.

【解析】試題分析：（1）根據矩形的性質定理可得OB=OD，AE∥CF，利用AAS即可證得△BOE≌△DOF；（2）添加條件EF⊥AC，先證明四邊形AECF是平行四邊形，即可得四邊形AECF是菱形.

試題解析：

（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OB=OD（矩形的對角線互相平分），

AE∥CF（矩形的對邊平行）．

∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．

∴△BOE≌△DOF（AAS）．

（2）當EF⊥AC時，四邊形AECF是菱形．

證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴OA=OC（矩形的對角線互相平分）．

又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，

∴四邊形AECF是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AECF是菱形（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）．