Question

【題目】閱讀：圓是最完美的圖形，它具有一些特殊的性質：同弧或等弧所對的圓周角相等，一條弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半……先構造“輔助圓”，再利用圓的性質將問題進行轉化，往往能化隱為顯、化難為易。

解決問題：如圖，點A與點B的坐標分別是（1，0），（5，0），點P是該直角坐標系內的一個動點．

（1）使∠APB=30°的點P有_______個；

（2）若點P在y軸正半軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點P的坐標；

（3）設sin∠APB=m，若點P在y軸上移動時, 滿足條件的點P有4個，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）無數；（2）（0， ）或（0， ）；（3）0﹤m﹤.

【解析】試題分析：（1）已知點A、點B是定點，要使∠APB=30°，只需點P在過點A、點B的圓上，且弧AB所對的圓心角為60°即可，顯然符合條件的點P有無數個．

（2）結合（1）中的分析可知：當點P在y軸的正半軸上時，點P是（1）中的圓與y軸的交點，借助于垂徑定理、等邊三角形的性質、勾股定理等知識即可求出符合條件的點P的坐標．

（3）由三角形外角的性質可證得：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角大于同弧所對的圓外角．要∠APB最大，只需構造過點A、點B且與y軸相切的圓，切點就是使得∠APB最大的點P，由此即可求出m的范圍．

試題解析：解：（1）以AB為邊，在第一象限內作等邊三角形ABC，以點C為圓心，AC為半徑作⊙C，交y軸于點P1、P2．

在優弧AP1B上任取一點P，如圖1，則∠APB=∠ACB=×60°=30°，∴使∠APB=30°的點P有無數個．

故答案為：無數．

（2）點P在y軸的正半軸上，過點C作CG⊥AB，垂足為G，如圖1．

∵點A（1，0），點B（5，0），∴OA=1，OB=5，∴AB=4．

∵點C為圓心，CG⊥AB，∴AG=BG=AB=2，∴OG=OA+AG=3．

∵△ABC是等邊三角形，∴AC=BC=AB=4，∴CG=

=

=2，∴點C的坐標為（3，2）．

過點C作CD⊥y軸，垂足為D，連接CP2，如圖1．∵點C的坐標為（3，2），∴CD=3，OD=2．

∵P1、P2是⊙C與y軸的交點，∴∠AP1B=∠AP2B=30°．

∵CP2=CA=4，CD=3，∴DP2==．

∵點C為圓心，CD⊥P1P2，∴P1D=P2D=，∴P1（0，2+），P2（0，2﹣）．

（3）當過點A、B的⊙E與y軸相切于點P時，∠APB最大．

理由：可證：∠APB=∠AEH，當∠APB最大時，∠AEH最大．由sin∠AEH= 得：當AE最小即PE最小時，∠AEH最大．所以當圓與y軸相切時，∠APB最大．∵∠APB為銳角，∴sin∠APB隨∠APB增大而增大，．

連接EA，作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2．∵⊙E與y軸相切于點P，∴PE⊥OP．

∵EH⊥AB，OP⊥OH，∴∠EPO=∠POH=∠EHO=90°，∴四邊形OPEH是矩形，∴OP=EH，PE=OH=3，∴EA=3．sin∠APB=sin∠AEH=，∴m的取值范圍是．