Question

【題目】閱讀材料：

小明在學習二次根式后，發現一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方，如3+2=（1+）2．善于思考的小明進行了以下探索：

設a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均為整數），則有a+b=m2+2n2+2mn．

∴a=m2+2n2，b=2mn．這樣小明就找到了一種把類似a+b的式子化為平方式的方法．

請你仿照小明的方法探索并解決下列問題：

（1）當a、b、m、n均為正整數時，若a+b=，用含m、n的式子分別表示a、b，得：a=__，b=__；

（2）利用所探索的結論，找一組正整數a、b、m、n填空：__+__=（___）+__）2；

（3）若a+4=，且a、m、n均為正整數，求a的值？

Answer 1

【答案】 a=m2+3n2 b=2mn 4 2 1 1

【解析】（1）根據完全平方公式運算法則，即可得出a、b的表達式；

（2）首先確定好m、n的正整數值，然后根據（1）的結論即可求出a、b的值；

（3）根據題意，4=2mn，首先確定m、n的值，通過分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可確定好a的值．

解：（1）∵a+b=，

∴a+b=m2+3n2+2mn，

∴a=m2+3n2，b=2mn．

故答案為：m2+3n2，2mn．

（2）設m=1，n=1，

∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．

故答案為4、2、1、1．

（3）由題意，得：

a=m2+3n2，b=2mn

∵4=2mn，且m、n為正整數，

∴m=2，n=1或者m=1，n=2，

∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．

“點睛”本題主要考查二次根式的混合運算，完全平方公式，解題的關鍵在于熟練運算完全平方公式和二次根式的運算法則．