Question

【題目】實驗中學學生在學習等腰三角形性質“三線合一”時

（1）（探究發現）如圖1，在△ABC中，若AD平分∠BAC，AD⊥BC時，可以得出AB＝AC，D為BC中點，請用所學知識證明此結論．

（2）（學以致用）如果Rt△BEF和等腰Rt△ABC有一個公共的頂點B，如圖2，若頂點C與頂點F也重合，且∠BFE＝∠ACB，試探究線段BE和FD的數量關系，并證明．

（3）（拓展應用）如圖3，若頂點C與頂點F不重合，但是∠BFE＝∠ACB仍然成立，（學以致用）中的結論還成立嗎？證明你的結論．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）結論：DF＝2BE；（3）結論不變：DF＝2BE．

【解析】

（1）只要證明△ADB≌△ADC（ASA）即可．

（2）結論：DF＝2BE．如圖2中，延長BE交CA的延長線于K．想辦法證明△BAK≌△CAD（ASA）即可解決問題．

（3）如圖3中，結論不變：DF＝2BE．作FK∥CA交BE的延長線于K，交AB于J．利用（2）中結論證明即可．

解：（1）如圖1中，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵DA平分∠BAC，

∴∠DAB＝∠DAC，

∵AD＝AD，

∴△ADB≌△ADC（ASA），

∴AB＝AC，BD＝DC．

（2）結論：DF＝2BE．

理由：如圖2中，延長BE交CA的延長線于K．

∵CE平分∠BCK，CE⊥BK，

∴由（1）中結論可知：CB＝CK，BE＝KE，

∵∠∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°，

∴∠ABK+∠K＝90°，∠ACE+∠K＝90°，

∴∠ABK＝∠ACD，

∵AB＝AC，

∴△BAK≌△CAD（ASA），

CD＝BK，

∴CD＝2BE，即DF＝2BE．

（3）如圖3中，結論不變：DF＝2BE．

理由：作FK∥CA交BE的延長線于K，交AB于J．

∵FK∥AC，

∴∠FJB＝∠A＝90°，∠BFK＝∠BCA，

∵∠JBF＝45°，

∴△BJF是等腰直角三角形，

∵∠BFE＝ACB，

∴∠BFE＝∠BFJ，

由（2）可知：DF＝2BE．