Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=10 cm，過點A作AD∥BC，且點D在點A的右側．點P從點A出發沿射線AD方向以每秒1cm的速度運動，同時點Q從點C出發沿射線CB方向以每秒2cm的速度運動，在線段QC上取點E，使得QE =2cm，連結PE，設點P的運動時間為t秒．

（1）若PE⊥BC，則①PE= cm，CE= （用含t的式子表示）；

②求BQ的長；

（2）請問是否存在t的值，使以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】（1）①5，2t －2；②BQ=；（2）存在t的值，使以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，t=4或12 s.

【解析】試題分析：（1）①作AM⊥BC于M，由已知條件得出AB=AC，由等腰三角形的性質得出BM=CM，由直角三角形斜邊上的中線性質得出AM=BC=5，從而得出PE的長，由CQ=2t，QE=2，得到CE的長；

②證出△APN和△CEN是等腰直角三角形，得出PN=AP=t，CE=NE=5﹣t，由CE=CQ﹣QE=2t﹣2得出方程，解方程即可；

（2）由平行四邊形的判定得出AP=BE，得出方程，解方程即可．

試題解析：解：（1）①作AM⊥BC于M．∵∠BAC=90°，∠B=45°，∴∠C=45°=∠B，∴AB=AC，∴BM=CM，∴AM=BC=5．∵PE⊥BC，∴PE=AM=5．∵AP=t，CQ=2t，∴CE=2t-2．

②由①可知：AM=BC=5．∵AD∥BC，∴∠PAN=∠C=45°．∵PE⊥BC，∴PE=AM=5，PE⊥AD，∴△APN和△CEN是等腰直角三角形，∴PN=AP=t，CE=NE=5﹣t．∵CE=CQ﹣QE=2t﹣2，∴5﹣t=2t﹣2，解得：t=，所以BQ=BC﹣CQ=10﹣2×=；

（2）存在，t=4；理由如下：

若以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，則AP=BE，∴t=10﹣2t+2或t=2t﹣2﹣10

解得：t=4或12，∴存在t的值，使以A，B，E，P為頂點的四邊形為平行四邊形，t=4或12．