Question

【題目】本市新建一座圓形人工湖，為測量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A，B，C三根木柱，使得A，B之間的距離與A，C之間的距離相等，并測得BC長為120米，A到BC的距離為4米，如圖所示．
（1）請你幫他們求出該湖的半徑；
（2）如果在圓周上再另取一點P，建造一座連接B，C，P三點的三角形藝術橋，且△BCP為直角三角形，問：這樣的P點可以有幾處？如何找到？

Answer 1

【答案】
（1）解：設圓心為點O，連接OB，OA，OA交線段BC于點D，

∵AB=AC，

∴ = ，

∴OA⊥BC，

∴BD=DC= BC=60

∵DA=4米，

在Rt△BDO中，OB2=OD2+BD2，

設OB=x米，

則x2=（x﹣4）2+602，

解得x=452．

∴人工湖的半徑為452米

（2）解：這樣的P點可以有2處，過點B或點C作BC的垂線交圓于一點，此點即為P點．

【解析】（1）設圓心為點O，連接OB，OA，AB=AC，得出 = ，再根據等弦對等弧，得出點A是弧BC的中點．結合垂徑定理的推論，知OA垂直平分弦，設圓的半徑，結合垂徑定理和勾股定理列出關于半徑的方程，即可求得圓的半徑；（2）根據垂直的定義即可得到結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用垂徑定理的推論的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握推論1：A、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧B、弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧C、平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧；推論2 ：圓的兩條平行弦所夾的弧相等．