Question

【題目】如圖所示，在長方體中，為平面直角坐標系的原點，，兩點的坐標分別為，，點在第一象限.

（1） 寫出點坐標；

（2） 若過點的直線，且把分為:兩部分，求出點的坐標；

（3） 在（2）的條件下，求出四邊形的面積；

（4） 若點是射線上的點，請直接寫出，之間的數量關系.

Answer 1

【答案】(1) 點B的坐標為（3，5）；(2) 點D的坐標為（3，4）或（3，1）；(3) 或9;(4) ∠APB=∠CBP+∠OAP或∠APB=∠CBP-∠OAP.

【解析】

（1）根據矩形的性質求出點B的橫坐標與縱坐標即可得解；

（2）分AD是4份和1份兩種情況討論求出AD的長，從而得到點D的坐標；

（3）根據梯形的面積公式列式計算即可得解．

（4）分點P在原點上方和在原點下方兩種情況求解：連接PB，PA，過點P作PE∥OA，根據平行線的性質可求得結論.

（1）∵A，C兩點的坐標分別為（3，0），（0，5），

∴點B的橫坐標為3，縱坐標為5，

∴點B的坐標為（3，5）；

（2）如圖，

若AD為4份，則AD=5×=4，

此時點D的坐標為（3，4），

若AD為1份，則AD=5×=1，

此時點D的坐標為（3，1），

綜上所述，點D的坐標為（3，4）或（3，1）；

（3）AD=4時，四邊形OADC的面積=（4+5）×3=，

AD=1時，四邊形OADC的面積=（1+5）×3=9，

綜上所述，四邊形OADC的面積為或9．

（4）①當點P在原點上方時，連接PB，PA，過點P作PE∥OA，交AB于點E，如圖，

∵四邊形OABC是矩形，

∴PE∥BC，

∴∠CBP=∠BPE，∠OAP=∠APE，

∵∠BPE+∠APE=∠CBP+∠OAP，即∠APB=∠CBP+∠OAP.

②當點P在原點下方時，連接PB，PA，過點P作PE∥OA，如圖，

∵四邊形OABC是矩形，

∴PE∥BC，

∴∠CBP=∠BPE，∠OAP=∠APE，

∵∠APB=∠BPE-∠APE，

∴∠APB=∠CBP-∠OAP.