Question

【題目】如圖，點O在線段AB上，（不與端點A、B重合），以點O為圓心，OA的長為半徑畫弧，線段BP與這條弧相切與點P，直線CD垂直平分PB，交PB于點C，交AB于點D，在射線DC上截取DE，使DE＝DB。已知AB＝6，設OA＝r。

（1）求證：OP∥ED；

（2）當∠ABP＝30°時，求扇形AOP的面積，并證明四邊形PDBE是菱形；

（3）過點O作OF⊥DE于點F，如圖所示，線段EF的長度是否隨r的變化而變化？若不變，直接寫出EF的值；若變化，直接寫出EF與r的關系。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） ，見解析；（3）EF＝3

【解析】試題分析：根據BP為的切線，得到，，可以推出

，進而證明平行.

根據所對的直角邊等于斜邊的一半，列出方程，求出半徑，根據扇形的面積公式進行即可即可.根據對角線互相垂直平分的四邊形是菱形證明.

根據題意可知，OP∥ED；點是的中點，則點是的中點，可以用表示出， 即可求出的長.

試題解析：

（1）∵BP為的切線

，

∵，

∴,

∴OP∥ED；

（2）在Rt△OBP中，

∴

在Rt△OBP中，

即

解得：

S扇形AOP=,

證明：∵

∴

∵

∴是等邊三角形

又∵

∴

∴DE與PB互相垂直平分，

∴四邊形PDBE是菱形.

（3）線段EF的長度是不會隨r的變化而變化，

根據題意可知，OP∥ED；點是的中點，則點是的中點，

線段EF的長度是不會隨r的變化而變化，