Question

【題目】已知，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，BC＝8 cm，AC的垂直平分線EF分別交AD，BC于點E，F，垂足為O.

(1)如圖①，連接AF，CE，試說明四邊形AFCE為菱形，并求AF的長；

(2)如圖②，動點P，Q分別從A，C兩點同時出發，沿△AFB和△CDE各邊勻速運動一周．即點P自A→F→B→A停止，點Q自C→D→E→C停止．在運動過程中，已知點P的速度為5 cm/s，點Q的速度為4 cm/s，運動時間為t s，當以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求t的值．

Answer 1

【答案】（1）AF＝5 cm；（2）t＝.

【解析】試題分析：（1）根據已知條件易證OA＝OC，OE＝OF，根據對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，可判定四邊形AFCE為平行四邊形；再由EF⊥AC，根據對角線互相垂直的平行四邊形為菱形，即可判定四邊形AFCE為菱形；設AF＝CF＝x cm，則BF＝(8－x)cm，在Rt△ABF中，根據勾股定理列出方程，解方程求得x的值，即可求得AF的長；（2）當P點在AF上，Q點在CD上時，A，C，P，Q四點不可能構成平行四邊形；同理P點在AB上，Q點在DE或CE上時，也不可能構成平行四邊形．因此只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，如圖，連接AP，CQ，則以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，此時PC＝QA，用t表示出PC、QA的長，列出方程求t即可.

試題解析：

(1)∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC.

∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE.

∵EF垂直平分AC，垂足為O，

∴OA＝OC.

∴△AOE≌△COF.

∴OE＝OF.

∴四邊形AFCE為平行四邊形．

又∵EF⊥AC，

∴四邊形AFCE為菱形．

設AF＝CF＝x cm，則BF＝(8－x)cm，

在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5.

∴AF＝5 cm.

(2)顯然當P點在AF上，Q點在CD上時，A，C，P，Q四點不可能構成平行四邊形；同理P點在AB上，Q點在DE或CE上時，也不可能構成平行四邊形．因此只有當P點在BF上，Q點在ED上時，才能構成平行四邊形，如圖，連接AP，CQ，則以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形，此時PC＝QA.∵點P的速度為5 cm/s，點Q的速度為4 cm/s，運動時間為t s，

∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm.∴5t＝12－4t，解得t＝.

∴以A，C，P，Q四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，t＝.